Maydonlar nazariyasi

Chiziqli integral va vektor maydonning sirkulyatsiyasi.

𝑎(𝑀)vektor maydondan 𝑙 chiziq bо„yicha olingan 𝑊 chiziqli integral deb, 𝑎(𝑀)

vektorning, 𝑙 chiziqqa о‘tkazilgan 𝜏(𝑀) birlik urinma vektorga skalyar kо‘paytmasidan

olingan egri chiziqli integralga aytiladi:

𝑊 = ∫_𝑙 𝑎(𝑀) ∙ 𝜏 (𝑀)𝑑𝑠 =∫_𝑙 𝑎𝑑𝑟,

bunda 𝑑𝑠 − 𝑙 chiziq yoyi differensiali. Agar 𝑓 𝑀 −kuch maydoni bо‘lsa

𝑊 =∫_𝑙 𝑓 𝑀 ∙ 𝜏𝑀 𝑑𝑠 = ∫_𝑙 𝑓𝑑𝑟 ,

bu maydonning 𝑙 yo‘l bо‘ylab bajargan ishini anglatadi.

Chiziqli integralning asosiy xossalari:

l. Chiziqlilik xossasi:

∫_𝑙 (𝑐₁𝑎₁+𝑐₂𝑎₂ )𝑑𝑟 =𝑐₁∫_𝑙 1𝑎₁1∙ 𝑑𝑟 + 𝑐₂ ∫_𝑙 𝑎₂∙ 𝑑𝑟

ll. Additivlik xossasi:

∫𝑎𝑑𝑟=𝑎𝑑𝑟=∫𝑎𝑑𝑟 _{𝑙1+𝑙2 𝑙 1}

lll. 𝑙 chiziqdagi yо„nalish qarama-qarshiga о„zgartirilganda chiziqli integralning ishorasi qarama-qarshiga о„zgaradi:

∫𝑎𝑑𝑟=−∫𝑎𝑑𝑟 _{AB BA}

Dekart koordinatalari sistemasida vektor maydon

𝑎 (𝑀) = 𝑃(𝑀) 𝑖 + 𝑄 (𝑀)𝑗 + 𝑅(𝑀)𝑘

kо‘rinishida, radius vektorining differensiali esa

𝑑𝑟=𝑑𝑥𝑖 +𝑑𝑦𝑗+ 𝑑𝑧𝑘

Kо‘rinishida ifodalangani uchun

𝑊 = 𝑃 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥 + 𝑄 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑦 + 𝑃 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑧.

Integral x,y,z larni L chiziqdagi ifodalari bilan almashtirib hisoblanadi. Bunda parametr

bо‘yicha aniq integral hosil bо‘ladi. Bu integralni quyi chegarasi parametrning L

chiziqning boshlang‘ich nuqtasidagi qiymatidan , yuqori chegarasi esa oxirgi nu qtasidagi

qiymatidan iborat boladi .

C yopiq satr boyicha hisoblangan

𝑈(𝑎,𝑐) = ∫_c𝑎𝑑𝑟

chiziqli integral 𝑎 vektor maydonning C kontur bо‘yicha

olingan sirkulyatsiyasi deyiladi.