|
Garmonik maydon.
V sohada
∆𝜑 (𝑀) = 0
Laplas tenglamasini qanoatlantiradigan 𝜑(M) skalyar maydon garmonik maydon
deyiladi. 𝜑−garmonik maydon bо‘lganda 𝑎 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑(𝑀) vector maydon ham
garmonik maydon deyiladi.
Garmonik vektor maydon bir vaqtda ham potensial,ham solenoidal maydon bо‘ladi.
𝑓(𝑀) − 𝑉 sohada aniqlangan funksiya bо‘lsin.
V sohada
∆𝜑 (𝑀) = 𝑓( 𝑀)
tenglik о‘rinli bо‘lsa , 𝜑(𝑀) skalyar maydon Puasson tenglamasini qanoatlantiradi deyiladi.
Misollar:
1 – masala.
Vektor maydonning 𝑢 = х2+ у2− 2𝑧 potensiali berilgan.
a)sirt sathi tenglamasi va ular orasidan М0(1,1/2, 5) , М1(2, 1, −1) , М2(2, 4, 3) nuqtalardan о‘tuvchi sirtlar tenglamasi yozilsin.
Yechish : Sath sirtlari uch о‘lchovli Evklid fazosidagi har bir nuqtada
𝑢 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = С
tenglik bilan aniqlanuvchi sirtlar bо‘ladi, bunda C – о‘zgarmas son. х2+ у2−2𝑧 = С yoki z =(x2+y2−C)/2
Bu tenglama OZ о„qi atrofida aylanishdan hosil bо‘lgan paraboloidlar oilasi tenglamasini aniqlaydi.C– о‘zgarmasning berilgan nuqtalarga mos keluvchi qiymatini topamiz
−М0 nuqta uchun, С = −35/4 𝑧 =(𝑥 2+𝑦 2 )/2+35/8;
−М1 nuqta uchun, С = 7, 𝑧 =(𝑥 2+𝑦 2)/2−7/2;
Bu paraboloidlar uchlari mos ravishda quyidagi nuqtalarda
joylashgan:
А1(О, О,35/8), А2(О, О, −7/2), А3(О, О, −7)
b). Berilgan potentsialga kо„ra vektor maydon topilsin. Skalyar
maydoning gradienti potentsial maydonni tashkil etadi:
𝑢( 𝑥, 𝑦, 𝑧 )=𝜕𝑢/𝜕Х𝑖 +𝜕𝑢/𝜕У𝑗 +𝜕𝑢/𝜕𝑍𝑘.
Berilgan potentsial uchun
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢 = 2𝑥 𝑖 + 2𝑦𝑗 −2 𝑘;
Demak, izlangan vektor maydon 𝐹 = 2 𝑥 𝑖 + 2𝑦𝑗 − 2 𝑘;
c). Bu vektor maydonning vektor chiziqlari tenglamasi topilsin.
Vektor chiziqlar differensial tenglamalari qо‘yidagi kо‘rinishda bо‘ladi;
= =
Berilgan vektor maydon uchun
= = yoki
Bundan esa
Ya'ni vektor chiziqlari uch о„lchovli Evklid fazosida
С1𝑥 = 𝑒-z va С2𝑦 = 𝑒-z sirtlari kesishidan hosil bо„lgan chiziqlardan iboratdir.С1= С2= 1 da vektor chiziqlar x=y tekisligida joylashadilar.
d) 𝑢 = 𝑥2+𝑦2− 2𝑧 skalyar maydonning М0(1,1/2,5) nuqtadagi, yо‘nalish bо‘ylab о‘zgarishi tezligini toping. Maydonning М0nuqtadagi eng katta о‘zgarishi nimaga teng?
Yо‘nalish bо‘yicha hosilani topamiz:𝜕𝑢/𝜕𝑙=(𝜕𝑢/𝜕𝑥)𝑐𝑜𝑠𝛼+(𝜕𝑢/𝜕𝑦)𝑐𝑜𝑠𝛽+(𝜕𝑢/𝜕𝑧)𝑐𝑜𝑠𝛾
Bu yerda 𝑐𝑜𝑠 𝛼 , 𝑐𝑜𝑠 𝛽 , 𝑐𝑜𝑠 lar М1М2 vektorning yо‘naltiruvchi kosinuslari.
=( 2 − 2; 4 − 1; 3 + 1) = (0; 3; 4;),
= = 5.
=0, , =
= y-
y- = -1
nuqtadagi eng katta о„zgarish:
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑈 М0 = (1,1/2,5) = 3
e) vektor maydonning М1 nuqtadan М2 nuqtagacha kо‘chishda bajargan ishini hisoblang.
vektor maydonning chiziq bо‘ylab bajargan ishi:
A=∫L d =∫L 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑈 d =∫L + + =∫Ldu=U(M2) - U(M1)
Bundan esa 𝑈 𝑋, 𝑌, 𝑍 = 𝑋2+ 𝑌2− 2𝑍 bо‘lgani uchun vektor
maydonning bajargan ishi
А =4 +16 − 6 − 4 + 1 + 2 = 7.
2 – masala.
М = (х + ху2) +(𝑦 – 𝑦х2 ) + (𝑧 – 3)
vektor maydonning divergensiyasi va uyurmasini М0 (−1,1,2) nuqtada toping.
Yechish:
𝑑𝑖𝑣 (𝑀0) =𝜕𝑎x /𝜕𝑥+𝜕𝑎y/𝜕𝑦+𝜕𝑎Ғ/𝜕𝑧= 1 + 𝑦2+ 1 – 𝑥2+ 1 == 3 + 𝑦2−𝑥2;
𝑑𝑖𝑣 (𝑀0)= 3 + 1 − 1 = 3
rot (𝑀) = =−4 ;
rot (𝑀0)=4 .
3 – masala.
(𝑀) = (𝑥+𝑥𝑦2 )𝑖 +(𝑦 – 𝑦𝑥2 ) +(𝑧-3) vektor maydonning,
𝑥2+ 𝑦2= 𝑧2, 𝑧 ≥ о sirtning z=1 tekislik kesgan qismidan tashqi normal
yо‘nalishi bо‘ylab oqib chiqqan oqimi hisoblansin.
Yechish:
П=∫∫(s) (M)d =∯(∑) (M)d -∫∫(s1) (M)d
J1=∯(∑) (M)d J2=∫∫(s1) (M)d belgilashlar kiritamiz.
Bu yerda ∑ - konus sirti va z = 1 tekisliklar birgalikda tashkil
etgan yopiq sirt 𝑆1: 𝑧 = 1 tekislikning konus bilan kesilgan qismi.
Gauss – Ostrogradskiy formulasiga kо‘ra
J1=∭(Ω) 𝑑𝑖𝑣 (𝑀) 𝑑Ω=∭(Ω)(3+y2-x2)dxdydz=
= = ( ) = ;
J2=∬D(1-3)dxdy=-2∬D dxdy=-2π
Chunki, ∬D dxdy-S1 sirtning ХОУ tekisligiga proyeksiyasi bо‘lgan D: x2+y2=1
doiraning yuziga teng.
Topilgan J1 va J2 larning qiymatlarini oqimning formulasiga qо‘yib
П= J1- J2= π-(-2π)=3 π
ni topamiz.
Adabiyotlar:
1.P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kojevnikova. Oliy matematika misol va masalalarda. Tashkent/.“Uzbekiston faylasuflari milliy jamiyati” 2007.
2. Sh.N. Ismoilov. Matematik tahlil/ II. O‟quv qo‟llanma. txt.uz. Angren. 2006.
3.Р.М. Мадрахимов, С.А. Имомкулов, Б.И. Абдуллаев, Ж.Р. Ярметов. Комплекс œзгарувчили функциялар назарияси. Маърузалар матни. txt.uz. Ургенч. – 2004.
4.Ёлкин Учкунович Соатов. Олий математика. Тошкент <<Ўзбекистон>> 1996.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
