Maydonlar nazariyasi tadbiqlari har bir talaba jurnal nomeriga mos variantda berilgan misollarni ishlab, bajarilgan ishni himoya

◄
5-misоl. 
k
z
j
y
i
x
a







vektor maydonning


1
0
1
2
2





z
y
x
z
yopiq 
sirt boʻyicha oqimini tоping. 

---

►
 
3




dz
dR
dy
dQ
dx
dP
M
a
div

ni hisoblab, Ostrogradskiy-Gauss formulasiga 
qoʻllaymiz. 






V
V
dV
dV
П
V
dV
M
a
div
3
3
)
(

. 
Tenglikning oʻng tomonidagi uch karrali integral 


1
0
1
2
2





z
y
x
z
yopiq sirt bilan chegaralangan jism, ya’ni radiusi va balandligi 1 ga teng boʻlgan 
konus hajmini beradi. Demak,







H
R
kon
V
П
2
3
1
3
3
.◄ 
2.
 
VEKTOR MAYDON SIRKULYATSIYASI. STOKS FORMULASI. 
VEKTOR MAYDON UYURMASI 
Fazoning biror sohasida vektor maydon 
 
k
z
y
x
R
j
z
y
x
Q
i
z
y
x
P
M
a




)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(



vektor orqali hosil qilingan boʻlsin. Bu sohada biror 
L
yopiq chiziqni olamiz. 
Yopiq 
L
kontur boʻyicha chiziqli integral 
vektor maydon sirkulyatsiyasi
deyiladi va 
C 
 
bilan belgilanadi, ya’ni 













L
L
dz
z
y
x
R
dy
z
y
x
Q
dx
z
y
x
P
dr
a
С
,
,
,
,
,
,

. (30.1) 
Agar
)
,
,
(
z
y
x
P
, 
)
,
,
(
z
y
x
Q
, 
)
,
,
(
z
y
x
R
funksiyalar oʻzlarining birinchi tartibli 
xususiy hosilalari bilan birga 
S
sohada uzluksiz boʻlsa, u holda quyidagi formula 
oʻrinli boʻladi: 










L
dz
z
y
x
R
dy
z
y
x
Q
dx
z
y
x
P
,
,
,
,
,
,
dxdy
y
P
x
Q
dzdx
x
R
z
P
S
dydz
z
Q
y
R







































(30.2) 
Bu (30.2) tenglik 
Stoks formulasi
deyiladi. 
 
M
a

vektоr maydоnning
uyurmasi
(yoki 
rotori
) deb 
M 
nuqtaning 
 
M
a
rot

bilan belgilanadigan va

---

 
k
y
P
x
Q
j
x
R
z
P
i
z
Q
y
R
M
a
rot











































(30.3) 
formula bilan aniqlanadigan vektor maydoniga aytiladi, bunda xususiy hosilalarni 
M
nuqtada topiladi. 
Uyurmaing formulasini determinant yordamida quyidagicha yozish mumkin: 
 
R
Q
P
z
y
x
k
j
i
M
a
rot











. (30.4) 
Uyurma tushunchasidan foydalanib, (30.2) Stoks formulasini vektor shaklida 
yozish mumkin 


 


d
M
a
rot
n
S
r
d
a
)
(




. (30.5) 
Bundan, 
 
M
a

vektоr maydоnning L yopiq chiziq boʻyicha 
sirkulyatsiyasi 
 
M
a

vektоr maydon uyurmasining shu yopiq chiziq bilan 
chegaralangan S yopiq soha orqali oʻtuvchi oqimiga teng ekan. 
Agar 
 
M
a

vektor maydonning har bir nuqtasida uyurmasi nolga teng 
boʻlsa, ya’ni 
 
0

M
a
rot

boʻlsa, bunday vektor maydonga 
potensial
(yoki 
gradiyentli
, 
yoki
 
uyurmasiz
) 
maydon
 
deyiladi. 
Nuqtaviy zaryadlar kuchlanichining elektrostatik maydoni potensial 
maydonga misol boʻladi. 
Potensial maydonning shu maydondagi ixtiyoriy yopiq chiziq boʻyicha 
sirkulyatsiyasi nolga teng. 
Potensial maydon biror bir 


z
y
x
u
u
,
,

skalyar funksiyaning gradiyentiga 
teng, ya’ni 
 
gradu
M
a


. Bunday 


z
y
x
u
u
,
,

funksiya 
vektor maydon 
potensiali
( yoki
 
potensial funksiyasi
) deyiladi. 
  





k
z
y
x
R
j
z
y
x
Q
i
z
y
x
P
M
a




,
,
,
,
,
,



vektоr 
maydоnning 
potensiali quyidagi formula yordamida topiladi: 

---


















z
y
x
z
y
x
dz
z
y
x
R
dy
z
y
x
Q
dx
z
y
x
P
z
y
x
u
,
,
,
,
0
0
0
,
,
,
,
,
,
,
,












x
x
z
z
y
y
dz
z
y
x
R
dy
z
y
x
Q
dx
z
y
x
P
0
0
0
,
,
,
,
,
,
0
0
0
, (30.6) 
bu yerda


0
0
0
,
,
z
y
x
tayinlangan nuqtaning koordinatalari, 


z
y
x
,
,
esa ixtiyoriy 
nuqta koordinatasidir. 
Agar 
 
M
a

vektor maydonning har bir nuqtasida divergensiyasi nolga teng 
boʻlsa, ya’ni 
 
0

M
a
div

boʻlsa, bunday vektor maydonga 
solenoidli
(yoki 
naychasimon
) 
maydon
deyiladi. 
1-misol. 
Ushbu
 
k
x
j
z
i
y
M
a







vektor maydonning
0
12
4
3
2




z
y
x
tekislikning koordinata tekisliklari bilan kesishish chizigʻi boʻyicha 
sirkulyatsiyasini hisoblang. 
►L 
yopiq chiziq 1-shakldagi uchburchak konturi, ya’ni 
ABCA.
Sirkulyatsiya 
ta’rif boʻyicha, (30.1) ikkinchi tur egri chiziqli integral bilan ifodalanadi: 




L
xdz
zdy
ydx
С
 
L 
yopiq chiziqni 
CA
BC
AB
L



boʻlaklarga ajratib, chiziqli integralni 
uchta integralning yigʻindisi shaklida ifodalab hisoblaymiz. Buning uchun har bir 
boʻlak egri chiziqning parametrik tenglamasini tuzamiz. 
1)
AB 
chiziq tenglamasi: 
t
z
t
x
y




,
2
6
,
0
,
t
esa 0 dan 3gacha oʻzgaradi.
 




9
9
18
6
2
6
0
3
3
0
2











AB
t
t
dt
t
xdz
zdy
ydx
 
2)
BC 
chiziq tenglamasi:
3
4
3
,
,
0




t
z
t
y
x
, 
t
esa 0 dan -4 gacha oʻzgaradi.
 
6
12
6
3
8
3
3
4
3
0
4
4
0
2


























BС
t
t
dt
t
xdz
zdy
ydx
 
3)
CA 
chiziq tenglamasi:
0
,
4
3
2
,




z
t
y
t
x
, 
t
esa 0 dan 6 gacha oʻzgaradi.
 
12
24
12
4
3
1
4
3
2
0
6
6
0
2
























СA
t
t
dt
t
xdz
zdy
ydx
 

---

Demak,
.
9
12
6
9









L
xdz
zdy
ydx
С
◄ 
1-shakl 
 
2-misol. 
Ushbu
 
k
x
j
z
i
y
M
a







vektor maydonning
0
12
4
3
2




z
y
x
tekislikning 
koordinata 
tekisliklari 
bilan 
kesishish 
chizigʻi 
boʻyicha 
sirkulyatsiyasini Stoks formulasi yordamida hisoblang. 
►
L 
yopiq chiziq 1-shakldagi uchburchak konturi, ya’ni 
ABCA. 
Berilishiga 
koʻra,
x
z
y
x
R
z
z
y
x
Q
y
z
y
x
P



)
,
,
(
,
)
,
,
(
,
)
,
,
(
, 
 

 
 



.
1
0
1
0
1
0
k
j
i
k
j
i
x
z
y
z
y
x
k
j
i
M
a
rot

































L
S
dS
a
rot
n
xdz
zdy
ydx
С


Bu yerda berilgan 
ABC
uchburchak sirtini mos ravishda 
Oyz
, 
Oxz
, 
Oxy
tekisliklardagi proyeksiyalarini aniqlaymiz va sirt integralini ikki karrali integralga 
olib kelib hisoblaymiz. 
1)





 



















3
0
3
0
0
3
12
4
3
0
3
3
4
3
12
4
dz
z
dz
z
dy
dz
dydz
dydz
S
BOC
z

---



6
9
3
2
0
3
2
3
3
4
2







z
2)





 










 








6
0
6
0
2
6
0
6
0
6
2
1
2
6
dx
x
dx
x
dz
dx
dzdx
dzdx
S
AOB
x


9
36
4
1
0
6
2
6
2
1
2








x
3)
12
24
12
0
6
4
3
3
12
2
2
6
0
0
3
12
2
6
0




















 



x
x
dx
x
dy
dx
xdxdy
dxdy
S
AOC
x
Topilganlarni jamlab quyidagini aniqlaymiz: 


9
12
9
6











S
dxdy
dzdx
dydz
С
.◄ 
3-misol. 
Ushbu 
 




k
xz
y
j
z
x
i
y
xz
M
a












2
2
2
2
vektor maydonning uyurmasini 


1
,
1
,
2
0
M
da hisoblang. 
►
xz
y
R
z
x
Q
y
xz
P
2
,
,
2
2
2





ga koʻra,
 



 

.
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k
xz
j
z
xz
i
x
y
xz
y
z
x
y
xz
z
y
x
k
j
i
M
a
rot






















Demak, 
 
k
j
i
M
a
rot




3
2
2
0




.
◄ 
4-misol. 
Ushbu 
 

 

j
x
xy
x
i
y
y
xy
M
a











9
6
9
3
2
2
2
vektor maydonning potensial maydon ekanini koʻrsating va maydon potensialini 
toping. 
►
Avval berilga maydonning potensial maydon ekanini, ya’ni 
 
0

M
a
rot

ekanini koʻrsatamiz. 
0
,
9
6
,
9
3
2
2
2







R
x
xy
x
Q
y
y
xy
P
boʻlgani uchun 

---

 
0
0
9
6
9
3
2
2
2












x
xy
x
y
y
xy
z
y
x
k
j
i
M
a
rot




. 
Potensial 
 
y
x
u
u
;

ni hisoblash uchun (30.6) formulani qoʻllaymiz. 
 


 
,
;
;
;
0
0
0
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
y
x
u
y
y
x
x




 


xy
xy
y
x
dy
x
xy
x
dx
y
x
u
y
x
9
3
9
6
0
;
2
2
0
2
0









.◄