Мавзу: Векторлар. Векторлар устида чизиқли амаллар. Икки векторни скаляр кўпайтириш

Таъриф: Узунлиги бирга тенг бўлган вектор бирлик вектор ёки орт дейилади.
Таъриф: Боши билан охири устма-уст тушган вектор ноль вектор дейилади. Ноль вектор кўринишда белгиланади ва унинг узунлиги нолга тенг деб ҳисобланади.
Ноль бўлмаган ҳар қандай вектор тайин бир йўналишни аниқлайди. Ноль вектор йўналишга эга эмас.

4-расм
Таъриф: Агар йўналган кесмалар бир хил (қарама-қарши) йўналишли бўлса, ва векторлар бир хил (қарама-қарши) йўналишли деб аталади. ва векторларнинг бир хил йўналишли эканини кўринишда, қарама-қарши йўналишли эканини кўринишда белгилаймиз.
Икки векторнинг тенглиги, яъни ёзуви векторларнинг битта вектор эканини, лекин турлича белгиланганини билдиради:
.


Таъриф: Битта тўғри чизиққа параллел бўлган векторлар коллинеар векторлар дейилади.
Фараз қилайлик, фазода бир нечта векторлар берилган бўлсин. Ихтиёрий нуқта танлаб олиб, бу векторларнинг бошини шу нуқтага параллел кўчирамиз. Векторларнинг бундай кўчириш амалига векторларни умумий бошга келтириш дейилади.
Иккитадан ортиқ векторни умумий бошга келтирганда улар бир текисликда ётмаслиги мумкин.
Таъриф: Умумий бошга келтирганда бир тўғри чизиқда ётувчи векторлар коллинеар векторлар дейилади.
Таъриф: Умумий бошга келтирганда битта текисликда ётувчи векторлар компланар векторлар дейилади. Компланарлик шарти учта ва ундан ортиқ векторлар учун ўринли. Параллел текисликларда ётувчи векторлар компланар векторлардир.
Таъриф: Битта текисликка параллел бўлган векторлар тўплами компланар векторлар дейилади.
3. Векторлар устида чизиқли амаллар.
Векторлар устида бажариладиган қуйидаги амаллар чизиқли амаллар деб аталади.

1. 
   Векторларни қўшиш.
   
2. 
   Векторларни айириш.
   
3. 
   Векторлани сонга кўпайтириш.
   

В е к т о р л а р н и қ ў ш и ш. Таъриф: Иккита векторнинг йиғиндиси деб, исталган нуқтадан векторни қўйиб, унинг охири га векторни қўйганда боши векторнинг боши да, охири учбурчак векторнинг охири да бўлган векторга айтилади. векторларнинг йиғиндиси билан белгиланади.
Векторларни қўшиш таърифидан исталган , ва уч нуқта учун
(1)
тенглик ўринли бўлиши келиб чиқади. (1) тенглик векторларнинг қўшишнинг учбурчак қоидаси дейилади. Икки коллинеар векторни қўшиш ҳам шу қоида бўйича бажарилади(5-расм).
5-расм 6-расм


векторлар ўзаро коллинеар бўлмаган вектор бўлсин. Уларни битта нуқтага параллел кўчирамиз, сўнгра томонлари ва векторлардан иборат бўлган параллелограмм чизамиз. Унинг нуқтага қарама-қарши учини деб векторни қараймиз. Равшанки, . Векторлар йиғиндисини бундай геометрик ясаш одатда «параллелограмм қоидаси» деб юритилади(6-расм).
Векторларни қўшиш амали қуйидаги хоссаларга эга:
Қўшишнинг гуруҳланиш (ассоциативлик) хоссаси. Ҳар қандай векторлар учун

муносабат ўринли.
Қўшишнинг ўрин алмаштириш (коммутативлик) хоссаси. Ҳар қандай иккита ва вектор учун тенглик ўринлидир.
Ҳар қандай векторга ноль векторни қўшилса, вектор ҳосил бўлади, яъни
.
Ҳар қандай вектор учун шундай вектор мавжудки, унинг учун
. (2)
(2) тенгликни қаноатлантирувчи векторга векторга қарама-қарши вектор дейилади ва билан белгиланади.
В е к т о р л а р н и а й и р и ш. Таъриф: векторларнинг айирмаси деб, вектор билан векторга қарама-қарши векторнинг йиғиндисига айтилади. Бу таърифдан кўринадики, айирма векторни ясаш учун векторни ясаш керак экан. Агар векторлар битта нуқтага қўйилган бўлса ҳамда ва деб белгиланган бўлса, у ҳолда

Бу ҳолда ва векторларнинг айирмасини топиш учун боши нуқтада, охири эса нуқтада бўлган векторни ясаш етарли бўлади. Бу қоидадан кўринадики, айирма вектор доимо мавжуддир.
В е к т о р н и с о н г а к ў п а й т и р и ш.