Mavzu. Tekislikda ikkinchi tartibli egri chiziqlar Reja

Mavzu. Tekislikda ikkinchi tartibli egri chiziqlar

Reja:

1. 
   Aylana va ellips.
   
2. 
   Giperbola va parabola.
   
3. 
   Ikkinchi tartibli egri chiziqlarning umumiy tenglamasi.
   
4. 
   Mavzuga doir misollar.
   

Tayanch so’z va iboralar: aylana, ellips, giperbola va parabola, ikkinchi tartibli egri chiziqlarning umumiy tenglamasi, ekstsentrisitet, direktrissa.
Ellips deb, tekislikdagi shunday nuqtalar to’plamiga aytiladiki, bu nuqtalarning har biridan shu tekislikning fokuslari deb ataluvchi ikki nuqtasigacha bo’lgan masofalar yig’indisi o’zgarmas miqdordir.

Fokuslari Ox o’qda koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik yotuvchi ellipsning kanonik tenglamasi ushbu ko’rinishga ega:

Bunda a va b lar ellipsning katta va kichik yarim o’qlari uzunliklari. Fokuslar orasidagi masofani 2c desak, c²=a²-b² munosabat o’rinli. Ellipsning ekstsentrisiteti deb,

ga aytiladi.

Ellipsning M(x,y) nuqtasidan fokuslarigacha bo’lgan masofalar (r₁ va r₂ bilan belgilanadi) uning fokal radiuslari deyiladi.

Tenglamalari

dan iborat ikkita to’g’ri chiziq ellipsning direktrisalari deyiladi va ular ushbu xossaga ega:

Agar a2= b²-a². Direktrisalari tenglamalari:

Agar a=b bo’lsa, ellips radiusi a, markazi koordinatalar boshida bo’lgan x²+y²=a² aylanadan iborat bo’ladi.

Giperbola deb tekislikdagi shunday nuqtalar to’plamiga aytiladiki, bu nuqtalarning har biridan shu tekislikning fokuslari deb ataluvchi ikki nuqtasigacha bo’lgan masofalar ayirmalarining absolyut qiymatlari o’zgarmas miqdordir.

Fokuslari Ox o’qda koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik yotuvchi giperbolaning kanonik tenglamasi ushbu ko’rinishga ega:

Bunda a – giperbolaning haqiqiy yarim o’qi uzunligi, b – mavhum yarim o’qi uzunligi. Fokuslar orasidagi masofani 2c desak, c²=a²+b² munosabat o’rinli.

Giperbolaning ekstsentrisiteti deb,

ga aytiladi.

Giperbolaning M(x,y) nuqtasidan fokuslarigacha bo’lgan masofalar (r₁ va r₂ bilan belgilanadi) uning fokal radiuslari deyiladi.

Giperbolaning direktrisalari deb, tenglamalari

dan iborat ikkita to’g’ri chiziq ellipsning direktrisalari deyiladi va ular ushbu xossaga ega:

Giperbola tenglamalari dan iborat ikkita asimptotaga ega. Agar a=b bo’lsa, giperbola teng tomonli giperbola deyiladi va uning tenglamasi x²-y²=a² ko’rinishni oladi, asimptotalari Oy o’qda koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik yotsa, u holda uning tenglamasi

yoki

ko’rinishni oladi. Giperbolaning ekstsentrisiteti , direktrisalari , asimptotalari bo’ladi.

va giperbolalar qo’shma giperbolalar deyiladi.

Fokus deb ataluvchi berilgan nuqtadan va direktrisa deb ataluvchi berilgan to’g’ri chiziqdan teng uzoqlikda yotuvchi tekislikdagi nuqtalar to’plami parabola deyiladi.

Uchi koordinatalar boshida yotuvchi, simmetriya o’qi Ox o’qdan iborat bo’lgan parabolaning kanonik tenglamasi

ko’rinishga ega.

Bunda p>0 (parabola parametri) fokusdan diektrissagacha bo’lgan masofa. Direktrissaning tenglamasi ko’rinishga ega.

Agar r-parabolaning M(x,y) nuqtasidan parabola fokusigacha bo’lgan masofa, d-shu M(x,y) nuqtadan direktrissagacha bo’lgan masofasi bo’lsa, u holda uning ekstsentrisiteti . Uchi koordinatalar boshida, simmetriya o’qi Oy bo’lgan parabolaning kanonik tenglamasi ushbu ko’rinishga ega: . Uning direktrissasi tenglamasi esa: .