Mavzu: Tasodifiy miqdor va uning taqsimot funksiyasi. Reja: Kirish. I -bob. Tasodifiy miqdorlar

Ta’rif. uzluksiz tasodifiy miqdor normal qonun bo’yicha taqsimlangan deyiladi, agar uning zichlik funktsiyasi quyidagi ko’rinishga ega bo’lsa

va parametrlar bo’yicha normal taqsimot orqali belgilanadi. normal tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasi

Agar normal taqsimot parametrlari va bo’lsa, u standart normal taqsimot deyiladi. Standart normal taqsimotning zichlik funktsiyasi quyidagi ko’rinishga ega

Taqsimot funktsiyasi

ko’rinishga ega va u Laplas funktsiyasi deyiladi.


II-bob. Tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasi va uning xossalari.
2.1 Taqsimot funksiya va uning xossalari.
Diskret va uzluksiz t.m.lar taqsimotlarini berishning universal usuli ularning taqsimot funksiyalarini berishdir. Taqsimot funksiya F(x) orqali belgilanadi.

• 
  F(x) funksiya X t.m.ning taqsimot funksiyasi xR son uchun quyidagicha aniqlanadi:
  

.
Taqsimot funksiyasi quyidagi xossalarga ega:

1. 
   F(x) chegaralangan:
   

.

2. 
   F(x) kamaymaydigan funksiya: agar x₁<x₂ bo‘lsa, u holda
   

.

3. 
   .
   
4. 
   F(x) funksiya chapdan uzluksiz:
   

.

Isboti: 1. Bu xossa (2.3.1) va ehtimollikning xossalaridan kelib chiqadi.

2. hodisalarni kiritamiz. Agar x₁<x₂ bo‘lsa, u holda va , ya’ni yoki .
3. va ekanligi va ehtimollikning xossasiga ko‘ra

.

4. hodisalarni kiritamiz. Bu yerda {x_n} ketma-ketlik monoton o‘suvchi, . A_n hodisalar ketma-ketligi ham o‘suvchi bo‘lib, . U holda , ya’ni . ■

Diskret t.m. taqsimot funksiyasi quyidagicha ifodalanadi:

. (2.3.2)
2.2-misol. 2.1-misoldagi X t.m. taqsimot funksiyasini topamiz.

1. 
   

   X	0	1	2
   P

   Agar x0 bo‘lsa, ;
   
2. 
   Agar 0<x1 bo‘lsa, ;
   
3. 
   Agar 1<x2 bo‘lsa, ;
   
4. 
   Agar x>2 bo‘lsa, .
   

Demak,


F(x) taqsimot funksiya grafigi 13-rasmda keltirilgan.


13-rasm.

• 
  X t.m. uzluksiz deyiladi, agar uning taqsimot funksiyasi ixtiyoriy nuqtada uzluksiz bo‘lsa.
  

Agar F(x) taqsimot funksiya uzluksiz t.m. taqsimot funksiyasi bo‘lsa, taqsimot funksiyaning 1-4 xossalaridan quyidagi natijalarni keltirish mimkin:

1. 
   X t.m.ning [a,b) oraliqda yotuvchi qiymatni qabul qilish ehtimolligi taqsimot funksiyaning shu oraliqdagi orttirmasiga teng:
   

. (2.3.3)

2. 
   X uzluksiz t.m.ning tayin bitta qiymatni qabul qilishi ehtimolligi nolga teng:
   

1-natijada [a,b], (a,b], (a,b) oraliqlar uchun ham (2.3.3) tenglik o‘rinli, ya’ni
.

Masalan, .