Mavzu: suyuqlik mexanikasining elementlari uzluksizlik tenglamasi

Bernulli tenglamasi.

1738 yilda D.Bernulli ideal suyuqlikning oqim tezligi va bosimi orasidagi bog‘lanishni ifodalovchi tenglamani yaratdi. Bu tenglama Bernulli tenglamasi deb ataladi.
(5)

5-rasm.

Ideal suyuqlikning oqim tezligi va bosimi orasidagi bolanishni aniqlaylik. Buning uchun ideal suyuqlik barqaror oqim ichida ko‘ndalang kesimi etarlicha kichik bo‘lgan oqim nayini hayolan ajrataylik (rasm – 3). Oqim nayining S1 kesimidagi suyuqlik tezligi va bosimini mos ravishda V1 va P1 bilan, S2 kesimidagilarni esa V2 va P2 harflari bilan belgilaylik.

S₁ va S₂ kesimlar markazlarining biror gorizontal sathidan balandliklari mos ravishda h₁ va h₂ bo‘lsin. S₁ va S₂ kesimlar bildavomidagi to‘liq energiyasining o‘zgarishini aniqlaylik. Shu vaqt davomida suyan chegaralangan oqim nayi ichidagi suyuqlik massasining t vaqt uqlikning tekshirilayotgan massasi oqim nayi bo‘ylab o‘ng tomonga siljib qoladi va t vaqtning oxirida S₁^’ va S₂^’ kesimlar bilan chegaralangan xajmni egallaydi. 3 – rasmdan ko‘rinishicha, tekshirilayotgan suyuqlik massasining S₁ va S₁^’ kesimlar orasidagi m massali suyuqlik

(6)
to‘liq energiyaga ega bo‘lgan vaziyatdan S₂ va S₂^’ kesimlar orasidagi xajmni egallagan
(7)
to‘liq energiyali vaziyatga o‘tib qolgandek bo‘ladi. Natijada tekshirilayotgan Suyuqlik massasining S₁ va S₂ kesimlar bilan chegaralangan vaziyatga ko‘chishi tufayli uning to‘liq energiyasi
(8)
miqdoriga o‘zgaradi. Energiyaning bu o‘zgarishini mexanik energiyaning saqlanish qonuniga asosan, tashqi kuchlarning bajargan ishiga teng bo‘lishi lozim. Mazkur holda ish bajaradigan tashqi kuchlar – oqim nayining tekshirilayotgan qismiga suyuqlik tomonidan ta’sir etuvchi bosim kuchidir. Oqim nayining yon devorlariga ta’sir etuvchi bosim kuchlari suyuqlik zarralarining harakati yo‘nalishiga tik bo‘lganligi uchun ular hech qanday ish bajarmaydi. Shuning uchun S₁ va S₂ kesimlar orqali ta’sir etuvchi F₁ = P₁ S₁ va F₂ = P₂ S₂ kuchlargina ish bajaradi. t vaqt davomida S₁ – kesimdagi suyuqlik zarralari ₁ = _{1 } t masofaga siljiganligi tufayli F₁ kuch bajargan ishning qiymati
A₁ = F₁ ₁ = P₁ S₁ ₁ t (9)
ifoda bilan aniqlanadi va bu ish musbat. R₂ – bosim kuchi suyuqlik zarralarining ko‘chish yo‘nalishlariga teskari bo‘lganligi tufayli u bajargan ish manfiy, ya’ni
A₂ =  F₂ ₂ =  P₂ S₂ ₂ t (10)
bo‘ladi.
Natijada tashqi kuchlarning to‘liq ishi quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:
A = A₁ + A₂ = P₁ S₁ ₁ t  P₂ S₂ ₂ t (11)
3-rasmdan ko‘rinadiki, S₁ ₁ t – oqim nayiga t vaqt davomida S₁ kesim orqali kirayotgan suyuqlik hajmi, S₂ ₂ t esa S₂ kesimdan chiqayotgan suyuqlikning hajmi. Ikkinchi tomondan, uzilmaslik tenglamasiga asosan, S₁ ₁ = S₂ ₂. Shuning uchun
S₂ ₂ t = S₂ ₂ t = V (12)
Natijada (4) ni quyidagicha yoza olamiz
A = P₁ V  P₂ V (13)
Yuqorida qayd qilganimizdek, ideal suyuqlikning statsionar oqimida W = A shart bajarilishi lozim. Shunga asosan (3) va (5) ifodalarni birlashtirib quyidagi tenglamani hosil qilamiz.
(14)
Bu tenglikni ikkala tomonini V ga bo‘lib yuborsak va m/V =  suyuqlik zichligi ekanligini hisobga olsak, yuqoridagi tenglama yangi ko‘rinishdagi quyidagi
(15)
munosabat vujudga keladi. Xisoblashlarda S₁ va S₂ kesimlarni ixtiyoriy ravishda tanlagan edik. Shuning uchun (6) munosabat oqim nayining ixtiyoriy kesimlariga ham taalluqlidir.
Demak, statsionar oqayotgan ideal suyuqlikning ixtiyoriy oqim chizig‘I bo‘ylab
(16)