|
Yechish: vektorni topamiz:
va unga moos birlik vektorni ham topamiz:
Shunday qilib, vector quyidagi yo’naltiruvchi kosinuslarga ega.
Endi funksiyaning xususiy xosilalarini topamiz:
va ularni nuqtada hisoblaymiz:
Xususiy hosilalarning va yo’naltiruvchi- kosinuslarning topilgan qiymatlarini (2.2) formulaga qo’yamiz:
“-“ ishora berilgan yo’nalishda funksiya kamayishini ko’rsatadi.
3.Skalyar maydon gradiyenti.Gradiyentni invariant aniqlash.
Ta’rif: differensiallanuvchi funksiya bilan berilgan skalyar maydonning nuqtadagi gradiyenti deb , bilan belgilanuvchi vektorga aytilib , uning proeksiyalari vazifasini shu funksiyaning xususiy hosilalari qiymatlari bajaradi,ya’ni
(3.1)
Gradientning proeksiyalari nuqtani tanlashga bog’liq bo’ladi va shu nuqtaning koordinatalari o’zgarishi bilan o’zgaradi.Binobarin funksiya bilan berilgan skalyar maydonning har bir nuqtasiga ma’lum bir vektor –shu funksiyaning gradienti mos qo’yiladi.
Gradientning ta’rifidan foydalanib, yo’nalish bo’yicha hosilani ifodalovchi (1.2) formulani quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
(3.2)
bunda yo’nalishdagi birlik vektor.Demak ,berilgan yo’nalish bo’yicha hosila funksiya gradient bilan shu yo’nalishning birlik vektori ko’paytmasiga teng.Skalyar ko’paytma ta’rifidan foydalanib, (1.4) formulani
ko’rinishda ifodalash mumkin,bunda -birlik vektor bilan gradient orasidagi burchak(5-shakl). bo’lgani uchun
(3.3)
bo’ladi.Bundan yo’nalish bo’yicha hosila bo’lganda , ya’ni da eng katta qiymatga erishadi.Shu bilan birga bu eng katta qiymat ga teng.,.ya’ni bu xolda
(3.4)
Shunday qilib, kattalik xosilaning nuqtadagi mumkin bo’lgan eng katta qiymati bo’ladi , ning yo’nalishi esa nuqtadan chiquvchi shunday nurning yo’nalishi bilan ustma-ust tushadiki , u bo’ylab funksiya hammasidan ko’ra tezroq o’zgaradi , ya’ni gradientning yo’nalishi funksiyaning eng tez ortishidagi yo’nalishidir.Bu yuqorida keltirilgan gradientning koordinatalar sistemasini tanlashga bog’liq bo’lmagan invariant ta’rifni berishga imkon beradi.
Ta’rif: skalyar maydonning gradienti deb, bu maydon o’zgarishining eng katta tezligini ifodalovchi vektorga aytiladi.
Agar bo’lsa , u holda yo’nalish bo’yicha hosila ga teng eng kichik qiymat bo’ladi.Bu yo’nalishda (qarama-qarshi yo’nalishda) funksiya hammasidan tezroq kamayadi.
Agar bo’lsa,yo’nalish bo’yicha hosila nolga teng.
(5-6-shakl)
Endi skalyar maydonning gradienti yo’nalishi bilan sath sirtlari orasidagi bog’lanishni o’rganamiz.
funksiyaning maydonning har bir nuqtasidagi gradientining yo’nalishi shu nuqtadan o’tuvchi skalyar maydonning sath tekisligiga o’tkazilgan normalning yo’nalishi bilan mos tushishini isbotlaymiz.Buning uchun ixtiyoriy nuqtani tanlab olamiz(6-shakl).Bu nuqtadan o’tuvchi sath sirti tenglamasi ko’rinishda yoziladi , bunda
nuqtadan shu tekislikka o’tkazilgan normalning tenglamasini tuzamiz:
Bundan,
Proeksiyalarga ega bo’lgan normalning yo’naltiruvchi vektori funksiyaning nuqtadagi gradienti bo’ladi.
Shunday qilib , har bir nuqtadagi gradient berilgan nuqtadan o’tuvchi sath sirtiga o’tkailgan urinma tekislikka perpendikulyar bo’ladi,ya’ni uning tekislikka proeksiyasi nolga teng.Demak , berilgan nuqtadan o’tuvchi sath sirtiga urinma bo’lgan istagan yo’nalish bo’yicha hosila nolga teng.Yaqqollik uchun olingan natijani geometri jixatdan tasvirlaymiz(7-shakl).Buning uchun nuqtada vektorni va bu vektor diametr bo’ladigan sferani yasaymiz, nuqta - sath sirti bilan urinish nuqtasi.Quyidagilar ravshan:
bo’lganda
bo’lganda
chunki bu holda yo’nalish sath sirtiga o’tkazilgan urinmaning yo’nalishi bilan mos tushadi:
bunda chunki bu xolda yo’nalish normalning yoki sath sirtiga o’tkazilgan ning yo’nalishiga mos keladi.
Funksiya gradientning ba’zi xossalarini ko’rsatamiz:
(7-shakl)
, bunda -o’zgarmaslik kattalik.
Bu xossalar funksiyaning hosilasini topish qoidalari bilan mos tushishi ravshan.
Misol. funksiyaning nuqtadagi gradientini hisoblang.
Yechish:Avval xususiy hosilalarni hisoblaymiz:
(3.1) formulaga muvofiq ixtiyoriy nuqtadagi gradientining ifodasi quyidagicha bo’ladi:
Skalyar maydonning sath sirtlari konsentrik sferalardan iborat bo’lgani uchun uning radiusi bo’ylab yo’nalgan bo’ladi , shu bilan birga
ya’ni funksiya o’sishining eng katta tezligi 1 ga teng.
Do'stlaringiz bilan baham: |
