Mavzu: Skalyar va vektor maydonlar. Gradiyent va yo’nalish bo’yicha hosila. Yuksaklik (sath)chiziqlari va sirtlari. Reja: Skalyar maydon

2.Berilgan yo’nalish bo’yicha hosila.
Skalyar maydonning muxim tushunchasi berilgan yo’nalish bo’yicha hosiladir.Faraz qilaylik,skalyar maydonning differrensiallanuvchi funksiyasi berilgan bo’lsin.
Bu maydondagi biror nuqtani va shu nuqtadan chiquvchi biror nurni qaraymiz.Bu nurning o’qlari bilan tashkil qilgan burchaklarini orqali belgilaymiz(4-shakl).Agar birlik vektorv bun ur bo’yicha yo’nalgan bo’lsa,u holda quyidagiga ega bo’lamiz:

Faraz qilaylik,biror nuqta shu nurda yotgan bo’lsin. va nuqtalar orasidagi masofani bilan belgilaymiz: .Skalyar maydon funksiyassi qiymatlari ayirmasini shu funksiyaning yo’nalishda shu nuqtalardagi orttirmasi deb aytamiz va bilan belgilaymiz.U xolda

yoki

(4-shakl)
Ta’rif. funksiyalarning yo’nqalish bo’yicha nuqtadagixosilasi

limitga aytiladi,bu limit tarzida belgilanadi.Shunday qilib ,

Agar nuqta tayinlangan bo’lsa,u holda xosilaning kattaligi faqat nurning yo’nalishiga bog’liq bo’ladi.
yo’nalish bo’yicha hosila xususiy xosilalarga o’xshash funksiyaning mazkur yo’nalishdagi o’zgarish tezligini xarakterlaydi.Hosilaning yo’nalish bo’yicha absolyut miqdori tezlikning kattaligini aniqlaydi,hosilaning ishorasi esa funksiya o’zgarishining xarakterini aniqlaydi:agar bo’lsa, u holda funksiya bu yo’nalishda o’sadi,agar bo’lsa kamayadi.
Berilgan yo’nalish bo’yicha hosilani hisoblash quyidagi torema yordamida amalga oshiriladi:
Teorema:Agar differensiallanuvchi bo’lsa, u holda uning ixtiyoriy yo’nalish bo’yicha hosilasi mavjud va quyidagiga teng:

bunda vektorning yo’naltiruvchi kosinuslari.
Isboti: funksiya teoremaning shartiga ko’ra differensiallanuvchi bo’lsa, u holda uning nuqtadagi orttirmasini
(2.1)
Ko’rinishda yozish mumkin,bunda kattalikga nisbatan yuqori tartibi cheksiz kichik miqdor ,ya’ni .
Agar funksiya orttirmasi vector yo’nalishidagi nur bo’ylab qaralsa u holda
,
bo’lishi ravshan.U holda (2.1) tenglik bunday ko’rinish oladi:

Tenglikning ikkala qismini ga bo’lamiz va da limitga o’tamiz.Natiada
(2.2)
Chunki

xususiy hosilalar va yo’naltiruvchi kosinuslar ga bog’liq bo’lmaydi.
Shunday qilib teorema isbotlandi.(2.2) formulada,agar yo’nalish koordinatalar o’qining yo’nalishlaridan biri bilan bir xil bo’lsa u holda bu yo’nalish bo’yicha hosila tegishli hususiy hosilalarga teng,masalan agar bo’lsa, u holda bo’ladi, shuning uchun va binobarin,

(2.2) formuladan ko’rindiki, yo’nalishga qarama-qarshi yo’nalish bo’yicha hosila yo’nalish bo’yicha teskari ishora bilan olingan hosilaga teng.
Xaqiqatan bunda burchaklar ga o’zgarishi kerak,natijada quyidagini xosil qilamiz:


Bu yo’nalish qarama-qarshisiga o’zgarganda funksiyaning o’zgarish tezligining absolyut miqdori o’zgarmaydi,uning faqat yo’nalishi o’zgaradi xolos.
Agar, masalan yo’nalishda funksiya o’ssa u holda qarama qarshi yo’nalishda u kamayadi,va aksincha.
Agar maydon tekis bo’lsa, u holda nurning yo’nalishi uning absissalar o’qiga og’ish burchagi bilan hosila uchun formulani tekis maydon xolida (2.2) formuladan olish mumkin, bunda

deb olinadi.U holda

Misol: funksiyaning nuqtada shu nuqtadan nuqtaga tomon yo’nalishidagi hosilasini toping.