Mavzu: Plurisubgarmonik funksiyalarning kvaziuzliksizligi

Mavzu: Plurisubgarmonik funksiyalarning kvaziuzliksizligi.
Plurasubgarmonik funksiyalarning eng muhim xossalaridanbiri kvaziuzluksizligidir: agar bòlsa, u holda u ixtiyoriy kichik ochiq tòplamda uzluksiz bòladi. Ushbu bòlimda biz tòplamning kichikligini tasvirlaymiz.
Bedford va Teylor (1982) teoremasi kvaziuzluksizlikga (asoslangan) tegishli. Sadullaev (1984) bu teoremaning isbotini keltirgan.
Bu mavzumiz Bedford va Teylor (1982) va Cagrell (1988) ģoyalariga asoslangan.
da ochiq kichik tòplam berilgan da kompakt bòlsin.
Nisbiylik siģimini quidagi (formula) orqali aniqlaymiz.
e’tibor bering, Chern-Levine-Nirenberg taxminiga kòra :
agar bòlsa, ning ixcham kichik tòplami bundan quidagilarga ega bòlamiz.
(3.5.1) : ning ochiq kichik toplam bilan.
Tasdiq:1) Agar ning Borel kichik tòplami bòlsa, u holda bòladi.
2) Agar bòlsa, u holda bòladi.
3) Agar bòlsa, u holda bòladi.
4) Agar ning kichik tòplamlari bòlsa, u holda bòladi.
5) Agar ning Borel kichik tòplami bòlsa, u holda bòladi.
Isbot: 1) va 4) xossalar tòģridan tòģri tarifdan kelib chiqadi.
5) ni isbotlash uchun da fiksrlangan soni olinadi.
bu yerda. Bizda bor .
Lemma: (3.5.2). Agar ochiq tòplamda haqiqiy va da aniqlangan bòlsa, u holda kuchli musbat bòladi.
Isbot: Bizda bor:
Natija: (3.5.3) Agar va da musbat bòlsa, u holda tengsizlik òrinli bòladi.
Isbot: Bu belgilash bichiziqli va simmetrikdir.
Yuqoridagi lemma shuni kòrsatadiki bu belgilash ham musbat aniqlangandir, va shuning uchun u Koshi-Shvars tengsizligini qanoatlantiradi.
Lemma: (3.5.4) : berilgan va bòlsin.Agar kamayuvchi ketma ketlik bòlsa, u holda bòladi.
Isbot: Umumiylikni yoqaotmasdan deb tahmin qilishimiz mumkin dan barcha lar uchun bòlsin. da musbat raqamlari tanlab olinadi.
da aniqlangan.
bòlsin, bunda bòlishi uchun tanlab olinadi.Keyin da
Shubhasiz, va da.
Agar standart silliqlash yadrosi bòlsa, u holda bòladi.
va da esa bòladi.
Stoks teoremasi bòyicha chunki da doimiy.
Faraz qilaylik , (3.5.3) natija qòllash orqali va Chern-Levine-Nirenberg taxminini qòllash orqali, bizsa bor .
Bu argumentni marta takrorlash orqali biz quidagiga ega bòlamiz: bunda hamda larga boģliq emas.
Agar da salbiy bòlmagan va shunga òxshash da bòlsa, u holda teorema (3.4.11) ga kòra,bizda bor
Shuning uchun da teorema (3.4.11) ni qòllash orqali va tengsizlikning chap qismini supremumini olsak: bòladi. Endi da teorema (3.4.11) ni qòllash kifoya.
Teorema (3.5.5) bu yerda ning ochiq tòplami soni uchun va uzluksiz bòladigan ning kichik ochiq tòplami mavjud bòladi.
Isbot: (3.5.1) teoremaga kòra, bòlganidan deb olishimiz mumkin.
ketma-ketlik musbat sonlardan iborat ortib boruvchi ketma-ketlik va bòlsa da fiksrlangan uchun induksiya bòyicha ketma-ketlik tanlanadi.

1. 
   da plurisubgarmonik va silliq
   
2. 
   ketma-ketlik kamayib ga yaqinlashasi.
   
3. 
   Bizda iabot bor((3.5.4) lemmaga kòra) aniqlaymiz.
   

dan aniq: tanlangan da aniqlaymiz.
bunda, ochiq va
Bundan tashqari, keyma-ketlik tòplamda lokal ravishda ga bir xilda (tekis) yaqinlashadi va shuning uchun, uzluksizdir.
Keyinchalik u funksiyaning chegaralanganlik taxmini ortiqcha ekanligini isbotlaymiz. Ammo buni isbotlash uchun yuqorida kòrsatilgan kvaziuzluksizlik teoremasining holatiga asoslangan yana bir qancha natijalar kerak bòladi.
Shuni takislash kerakki subgarmonik funksiyalar ham kvazi uzluksizlik xususiyatiga ega (garchi boshqa imkonoyatlarga ega bòlsa ham). Bu Kartan (1945) ning klassik natijasidir.