Mavzu: O‘lchov bo‘yicha yaqinlashish

MAVZU: O‘lchov bo‘yicha yaqinlashish
Bizga E to‘plamda aniqlangan o‘lchovli funksiyalar ketma-ketligi va
o‘lchovli funksiya berilgan bo‘lsin.
Ta’rif. Agar ixtiyoriy uchun

tenglik bajarilsa, u holda { } funksiyalar ketma-ketligi E to‘plamda funksiyaga o‘lchov bo‘yicha yaqinlashadi deyiladi.
Deyarli yaqinlashishdan o‘lchov bo‘yicha yaqinlashish kelib chiqadi. Quyidagi teorema shu haqda
Teorema(Lebeg). Agar { } o‘lchovli funksiyalar ketma-ketligi
to‘plamda funksiyaga deyarli yaqinlashsa, u holda { } ketma -ketlik E to‘plamda ga o‘lchov bo‘yicha ham yaqinlashadi.
Isbot. funksiya to‘plamda o‘lchovli bo‘ladi.
, .
Ixtiyoriy olib,



to‘plamlarni kiritamiz. Bu yerda - o‘lchovli to‘plamlar.
- o‘lchovli
munosabat o‘rinli.
- o‘lchovli .
Lebeg o‘lchovining uzluksizlik xossasiga ko‘ra
o‘rinli.
Endi munosabatni isbot qilamiz. Buning uchun A to‘plamdan ixtiyoriy elementni olamiz. Yuqoridagi son uchun topiladiki, larda



bajariladi.
Demak, larda
Lebeg o‘lchovining yarim additivlik xossasiga ko‘ra





Teorema isbot bo‘ldi.
Teorema(F.Riss). Agar o'lchovli funksiyalar ketma-ketligi ga o'lchov bo'yicha yaqinlashsa, u holda bu ketma-ketlikdan ga E to'plamda deyarli yaqinlashuvchi qismiy ketma ketlik ajratish mumkin.
Teorema. (Luzin). kesmada aniqlangan funksiya o‘lchovli bo‘lishi uchun ixtiyoriy son uchun da uzluksiz bo‘lgan shunday funksiya mavjud bo‘lib, tengsizlik bajarilishi zarur va yetarli.

Misollar
1-misol. Har bir uchun

bo‘lsin. funksional ketma-ketligi nol funksiyaga deyarli yaqinlashuvchi bo‘lib, o'lchov bo'yicha yaqinlashuvchi emasligini ko'rsating.

Yechimi. Har bir uchun

bo'lganligidan, .

Endi bo'lsin. U holda

ya'ni,

Bundan

Demak,



Bundan o'rinli emas.
2-misol. funksiyasi

fo'rmula bilan aniqlangan bo'lsa, ketma-ketligi nol funksiyaga o'lchov bo'yicha yaqinlashishini ko'rsating.
Yechimi. Ta'rif bo'yicha uchun

ekanligini ko'rsatish yetarli.
bo'lsin.

to'plamni aniqlaymiz. Bu to'plam ga teng. Bundan

Endi da

ekanligidan ,
3-misol. funksional ketma-ketlikni o‘lchov bo‘yicha yaqinlashishga tekshiring.

o'lchov bo'yicha yaqinlashishga tekshiramiz.

deb olamiz.
1).

2).


deyarli yaqinlashuvchi emas.




Demak, da son uchun o'lchov bo'yicha yaqinlashuvchi bo'ladi.
4-misol. kesmada aniqlangan

funksiya o'lchovli bo'ladimi?


Yechish. kesmada uzluksiz funksiya o'lchovlidir. Bunga ko'ra , funksiya o'lchovli bo'ladi. Luzin teoremasi va

tengsizlikdan funksiyaning kesmada o'lchovli ekanligi kelib chiqadi.


5-misol. funksional ketma-ketlikni o‘lchov bo‘yicha yaqinlashishga tekshiring.











deb olsak,
1) ,
2) ,

1. 
   
   

2. 
   
   

Demak, funksional ketma-ketlik .
6-misol. va ketma-ketliklar to'plamda o'lchov bo'yicha va funksiyalarga yaqinlashsin. U holda bo'lishini isbotlang.
Yechimi. O'lchovli funksiyaning o'lchov bo'yicha yaqinlashishining ta'rifiga muvofiq ixtiyoriy uchun

ekanligini ko'rsatish zarur.
Quyidagi belgilashni kiritaylik:




ekanligini ko'ramiz. bo'lsin. U holda
.
Endi

tengsizlikdan

Bundan

tengsizliklardan kamida bittasi o'rinlidir, ya'ni

Endi va bo'lgani uchun va . Bundan ya'ni
.