2.2- Bir sanoq sistemasidan boshqa sanoq sistemasiga otish
Asosi t ga teng bolgan sanoq sistemasidan doimo boshqa biror g asosga ega bolgan sanoq sistemasiga otish mumkin. Buning uchun t sistemali sonni avvalo onlik sanoq sistemasidagi songa aylantirib, songra oxirgi sonni g sistemadagi songa aylantirish kerak. Onlik sistemada berilgan sondan g lik sistemaga (g < 10) otish uchun berilgan sonni g ning darajalari boyicha yozib olamiz. Shu yoyilmadagi koeffitsientlar (darajalarining pasayishi tartibida olinadi) g asosga nisbatan yozilgan sonning raqamlari boladi.
1-misol. 3287 ni yettilik sistemasida yozing.
Buning uchun quyidagi ketma-keglikni bajaramiz:
3287 = 7∙469 + 4,
469 = 7∙67 + 0,
67 = 7∙9 + 4,
9 = 7∙1 +2.
Demak, 3287 son quyidagi yoyilmaga ega ekan:
3287 = 7(7∙67)+ 4 = 72∙67 +4 = 72(7∙9 + 4) + 4 =
=73∙9 + 72∙4+ 4= 73(7 + 2) +72∙4 + 4 =
= 74∙1+73∙2 + 4∙72 + 0∙7 + 4∙7° = (12404)7,
3287 = (12404)7.
Yuqoridagi ketma-ket bolishni quyidagi usulda ham bajarish mumkin:
–3287
28
|
7
|
|
|
–469
|
7
|
–48
42
|
42
|
–67
63
|
7
|
|
–49
|
–9
7
|
7
|
–67
63
|
49
| -
|
|
Oxirgi bolinma va qoldiqlar (eng songgi qoldiqdan boshlab) dan tuzilgan son biz izlagan son boladi.
Endi biror t asosli sistemadan onlik sistemaga otish masalasi bilan shugullanamiz (m<10)
berilgan bolsin. Ongdan birinchi xona birligi onli sistemada ham ozgarmaydi, yani a0= a0. Ongdan ikkinchi xonaning bir birligi onlik sistemada a2t2 qiymatga, uchinchi xona birligi a2t2 va hokazo, r+1 xona birligi esa a2t2 qiymatga ega. Demak, Nt son onlik sistemada quyidagi yoyilma boyicha yoziladi:
Nm = a0 + a1t +a2t2 + ... + artr.
Yuqoridagilarga asosan, quyidagi qoidani yoza olamiz:
t asos boyicha berilgan sonni onlik sistemada yozish uchun ongdan ikkinchi raqamdan boshlab har bir sonni shu raqam joylashgan xona qiymatiga ko’paytirib, ularning yig’indisini topish kerak.
2-misol. (25302)7 sonni o’nlik sistemada yozing. Birinchi xonadagi son 70=1. Demak, 2∙1=2. Ikkinchi xonadagi son 7. Demak, 0∙7 = 0. Uchinchi xonadagi son 72= 49. Demak, 49∙3 = 147. To’rtinchi xonadagi son 73= 343. Demak, 343∙5= 1715. Beshinchi xonadagi son 74= 2401. Demak, 2401∙2=4802. U holda 2+0 + 147 + 1715 + 4802 = 6666.
Amaliy mashg’ulotlarda t asosli sistemadan o’nlik sistemaga o’tish uchun yuqoridagi jarayon teskarisidan bajariladi, ya’ni eng yuqori xona byrligi (misolimizda 2) asos birligi (misolimizda 7) ga kupaytirilib, keyingi xona birligiga qo’shiladi, ya’ni 7∙2 + 5 = 19. Hosil bo’lgan natija yana asosga ko’paytirilib, natija keyingi xona birligiga qo’shiladi va hokazo. SHu usulni hozirgi misolga qo’llaylik:
7∙2 + 5=19, 19∙7 + 3 = 136, 136∙7 + 0 = 952, 952∙7 + 2 = 6666.
3-misol. (35201)6 =x4 ni bajaring. Boshqacha aytganda oltilik sistemasidan to’rtlik sistemaga o’ting.
Avvalo yuqorida aytib o’tganimizdek, oltilik sistemadan o’nlik sistemaga o’tamiz:
6+5=23,
23∙6+2=140,
140∙6 + 0 = 840,
840∙6+ 1 = 5041.
Endi o’nlik sistemadan to’rtlik sistemaga o’tamiz:
–5041
5
|
4
|
|
|
|
–1260
|
4
|
–10
8
|
12
|
–315
28
|
4
|
|
–6
|
–78
4
|
4
|
–24
24
|
4
|
–35
32
|
|
–19
|
4
|
-20
20
|
–38
36
|
16
|
–4
|
4
|
|
|
|
4
|
|
|
|
|
|
Demak, 5041=(1032301)4 bolib, (35201)6 =(1032301)4 boladi. Agar berilgan acos 10 dan katta bolsa, u holda yangi simvollar kiritishga togri keladi. Masalan, qaralayoggan asosni 16 desak, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 raqamlardan tashqarn (10), (11). (12), (13), (14), (15) simvollar (raqamlar) kiritilib, 0 dan 16 gacha bolgan sonlarii 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, (10), (11), (12), (13), (14), (15), 10 kabi yoza olamiz.
4-misol. (12573)10 ni 16 asos bo’yicha yozing.
Yechish.
12573= 16∙785+13,
785 = 16∙49 + 1,
49 = 16∙3 + 1.
Bu yerda 13 soni berilgan 10 asosdan katta bo’lganligi uchun uni (13) simvol bilan almashtirib, quyidagiga ega bo’lamiz:
(12573)10 = (311(13))16.
Faraz qilaylik biror g asosga nisbatan yozilgan t soni berilgan bolsin. Bizdan shu t sonini 10 lik sistemadan foydalanmasdan turib, istalgan k asosga nisbatan yozish talab etilsin.
Avvalo k sonni g asosda yozamiz, keyin quyidagi amallarni bajaramiz:
a) t sonni k ga bolib, qoldiq b0 sonni topamiz, yani t =hq1 + b0 dan b0 topiladi;
b) b0 qoldiqni k asosga otkazamiz va b0 son k asosli soniing oxirgi raqami boladi;
v) q1, sonni k songa bolib, qoldiq b1 sonni topamiz, yaьni q1=hq2+b1 dan b1 topiladi va uni k asosga o’tkazamiz;
g) bu jarayonni bo’linma qi, son k dan kichik bo’lgancha davom ettiramiz;
d) t sonning k asosli birinchi raqami, oxirgi bo’linma qi bo’ladi. Undan keyingi raqam oxirgi qoldiq va shu tartibda qoldiqlar olinadi. Bu sonlar t sonning k asosli raqamlari boladi.
Demak, 27248 = 156211.
Biz yuqorida istalgan butun sonni t> 1 natural asos boyicha yozish mumkinligini korsatdik. Bu fikr istalgan kasr son uchun ham togri ekanini bayon qilamiz. Faraz qilaylik, bizga 1309,26 onli kasr (10 asosga nisbatan) berilgan bolsin. Bu sonni 10 ning darajalari boyicha quyidagicha yozib olamiz:
1309,26 = 1∙103+3∙102+0∙101+9∙100+2∙10-1+6∙10-2 Agar qaralayotgan kaer boshqa asos bo’yicha berilgan bo’lsa, u holda uni o’nli asos orqali yozish mumkin.
Masalan,(1254,7632)8=1∙83+2∙82+5∙81+4∙80+7∙8-1+6∙8-2+3∙8-3+2∙8-4 yoyilmada tegishli amallar bajarilsa, hosil bolgan son 10 asosga nisbatan yozilgan boladi.
Oz-ozidan malumki kasr sonlarning barchasi ham chekli onli kasr shaklida yozilavermaydi. Bu hol istalgan sanoq sistemasi uchun ham orinli.
Lekin yana shunday hol yuz berishi mumkinki, bir sanoq sistemasida chekli yoyilmaga ega bolgan ratsional son boshqa sanoq sistemasida cheksiz davriy kasrga yoyilishi mumkin va aksincha. Masalan, soni onlik sistemada 0,333. , . kabi cheksiz davriy onli kasrga yoyilsa, oltilik sanoq sistemada chekli bo’ladi, ya’ni =0∙6 + 2∙6-1 = (0,2)6. Xuddi shunday =0,1 bo’lgani holda = =(0,0333. . .)6 bo’ladi.
Umuman aytganda yuqoridagilarga asosan istalgan ratsional M sonini t asos boyicha quyidagi korinishda yozish mumkin:
Mt=(ak ak-1… a0, a-1 a-2 ... a-s)m
Bunda ak ak-1… a0 lar M sonining butun qismini, a-1 a-2 ... a-s lar esa uning kasr qismini ifodalaydi.
Do'stlaringiz bilan baham: |