Mavzu: Matritsa ko‘rinishdagi chiziqli tenglamalar sistemasi. Koshi integral formulasi. Eksponensial matritsa. Matritsali differensial tenglamalarni integrallash.
Reja
Chiziqli bir jinsli o‘zgarmas koefitsentli tenglama
Chiziqli bo‘lmagan o‘zgarmas koeffitsentli tenglama
Xarakteristik tenglama
Misollar
Tayanch so’z va iboralar:.chiziqli tenglama, normal sistema , chiziqli sistema matritsa, vektor-matritsa, bir jinsli tenglama, trival yechim, xarakteristik tenglama.
Agar normal (dinamik) sistemada f1,f2,…..fm funksiyalar izlanayotgan funksiyalarga nisbatan chiziqli bo‘lsa, u holda bunday tenglamalar sistemasi chiziqli sistema deyiladi, ya'ni normal sistema:
(1)
Bu ta’rifdan chiziqli sistema uchun ushbu ko‘rinishda bo‘lishi kelib chiqadi:
(2)
bu yerda barcha aik koeffitsentlar va bk(i,kq1,2,…n) ozod hadlar, umuman aytganda, x ning ixtiyoriy funksiyalaridir. Agar vektor-matritsa belgilaridan foydalansak, (2) chiziqli sistemani oddiy va qisqacha yozish mumkin. Komponentlari u1(x)u2(x),…,yn(x) bo‘lgan u(_)(x) vektorni kiritamiz va uni ustun matritsa shaklida, ya'ni n ta satrli va 1ta ustunli matritsa shaklida yozamiz:
Bunday vektorning hosilasi elementlari dastlabki vektor elementlarining hosilalaridaan iborat bo‘lgan yangi ustun matritsadan iborat deb aytishimiz tabiiydir:
U holda komponentlari (2) sistemani ozod hadlaridan iborat vektorni v(x) orqali, sistema koeffitsentlari matritsasini esa A(x) orqali belgilasak:
U holda (2)sistemani vektorlar qatnashgan
qA(x)y(_)(x)Qb(_)(x) (3)
ko‘rinishda yozish mumkin. Bu tenglik differensial tenglamalar chiziqli sistemasining vektor-matritsa shaklidagi yozuvi deyiladi:
Agar (1)da A(x)qconst bo‘lsa, u holda bu tenglamani (o‘zgarmas koeffitsentli chiziqli differensial tenglama)
q A(x)y(_)(x)Qb(_)(x) (4)
Tenglamani chiziqli bir jinsli bo‘lmagan o‘zgarmas koeffitsentli tenglama deyiladi. Agar (4) da b(_)(x)q0(_) bo‘lsa, u holda
q Ay(_) (5)
chiziqli bir jinsli o‘zgarmas koeffitsentli tenglama deyiladi. Biz quyida (4) ko‘rinishida vektor-matritsali tenglamalarni integrallash (yechish) bilana shug‘ullanamiz. Avval (5)bir jinsli tenglamalar sistemasini yechimini
(6)
ko‘rinishida izlaymiz, bunda α(_)q biror yoki (6) koordinatalar ko‘rinishida y1qα1ekx, y2qα2ekx,…,ynqαnekx (6)
Bu funksiyalardan hosila olib (5) ga qo‘yamiz: qαk ekx, αkekxqekx Aα/:ekx
yoki αkqAα. Bundan (A-kE)αq0 (7) bo‘ladi, ye-birlik matritsa. (7) vektor-matritsa tenglama koordinatalar ko‘rinishida quyidagicha bo‘ladi:
(7)
(5) bir jinsli tenglamaning uq0 trival yechimi bor ekani ravshan. Shuning uchun bu tenglamaning trivial (u≠0) bo‘lmagan yechimini izlaymiz, ya'ni (6) daα≠0(yoki α12Q…Qαn2≠0) bo‘lsin.
Shunday qilib, (7)yoki (7)α1,α2,…..,αn larga nibatan chiziqli bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasidan iborat. Bu sistema trivial bo‘lmagan (α(_)≠0) yechimlarga ega bo‘lishi uchun bu sistemaning determinanti 0 ga teng bo‘lish zarur va yetarlidir (bir jinsli algebraik tenglama to‘g‘risidagi teoremaga ko‘ra ). Bu shart quyidagidan iborat:
A-Keq0 (8)
( A-Ke )- bu, A-Ke matritsaning determinanti yoki koordinatalar ko‘rinishida
(81)
xarakteristik tenglama.
Bu k-ga nisbatan n-chi tartibli algebraik tenglama bo‘lib, uni (5) tenglamaga mos xarakteristik tenglama deyiladi. (8) tenglama algebraik asosiy teoremasiga ko‘ra n ta ildizga ega. Biz aij elementlar haqiqiy bo‘lgan holni ko‘ramiz. Bunda ildizlar ichida komplekslari bo‘lsa, ularga qo‘shma bo‘lgan kompleks sonlar ham ildiz bo‘ladi. Har ildizga mos (6)((6)) yechimni topish lozim. (8) tenglama o‘zaro farqli ildizlari nta bo‘lishi ham mumkin. Shu hollarni alohida ko‘ramiz. 1)Xarakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy va har xil.
Bu holda har bir kqkj, jq1,n ni (7) tenglamaga qo‘yib mos α (j) vektorni topamiz. Shu bilan n ta , jq1,n yechimni topamiz. Bu yechimlar chiziqli erkli, chunki
Do'stlaringiz bilan baham: |