Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

AVS 
-siniq chiziq bo‘lsin, agar
AV> VS
bo‘lsa va 
AB
DE
BC
AD


,
bo‘lsa, u vaqtda 


EBC
AE
EV 
+ 
VS 
bo‘lishini isbotlash kerak (3-shakl). Shuni aytish kerakki, bu teoremani 
Beruniy „Qonuni Mas`udiy" asarining III maqolasida turli trigonometrik formulalarni isbotlash 
uchun keng ravishda tatbiq etadi. Shu sababli, Beruniy ―Doiradagi vatarlarni aniqlash" risolasida bu 
teoremaga katta ahamiyat berib, uning Arximed tomonidan berilgan uch xil isbotini va boshqa 
matematiklar bergan 20 xil isbotlarini qeltiradi. 
Bular orasida Abul Hasan (O‘rta osiyolik matematik, Beruniyning do‘sti), Abu Said al-
Jurjoniy (IX asrda yashagan Jurjonlik olim), Abu Ali ibn al-Haysam (965—1039, Basrlik, mashhur 
matematik), Beruniyning o‘zi bergan 8 xil isboti va ustozi Abu Nasr ibn Iroq bajargan isbotlar bor. 

---

106 
Arximed teoremasining ayrim isbotlari
1. Arximed isboti: DB

yoyiga teng DH
 
yoyini ajratamiz (4-shakl), DH
 
va DB

kesmalarni
o‘tkazamiz, 
EG=EB 
ni
 
ajratamiz, DG
 
va D
A 
ni o‘tkazamiz. U vaqtda DE

umumiy
perpendikulyar bo‘lganidan 
DB=DG 
bo‘ladi. Shartga ko‘ra
DA
DC

bo‘lgani va undan tashqari 
DH
DB

bo‘lgani uchun, 
BC
AH

 
bo‘ladi. 
ADN 
va 
NAD
burchaklarning yig‘indisi D
VA 
yoki 
DGB burchakka teng. Lekin 
DGB

. 
Shuning uchun

GDA
 =

NDA
bo‘lib,
DG=DH
va 
DA

umumiy tomon bo‘lganidan, bu uchburchaklarda 
AG= AN 
bo‘ladi. Ammo 
AN=VS 
bo‘lgandan 
AG=BC 
bo‘ladi. G
E = EV 
bo‘lgani uchun, 
AG
+ G
E=VS 
+ 
EV 
va 
AE = EV 
+ 
VS 
bo‘ladi. Mana shuni isbotlash kerak edi.
2. Beruniy isboti: D
KO 
diametrni o‘tkazamiz (5-shakl). D
E
ni L
 
nuqtagacha davom
ettiramiz. DL
 
ga parallel 
ON 
ni
 
o‘tkazamiz. 
OAH
DCL

bo‘ladi. 
ND 
ni o‘tkazamiz. U vaqtda 
FHD 
to‘g‘ri burchak (diametrga tiralgan) va demak, 
DEFH
to‘g‘ri to‘rtburchakdir. Bunda 
HD=FE
va KS||ED 
 
o‘tkazamiz. 
K
markazdan tushirilgan KS

kesma
AV 
va HD

vatarlariga
perpendikulyar bo‘lgani uchun, ularni teng ikkiga bo‘ladi, ya`ni HS=SD
 
va shuning uchun
FM=ME.

Demak, qoldiq kesmalar AF=EB

va 
ND = FE, 
demak, HD=BC
.
Bundan FE=BC 
bo‘lib, ularga
AF 
va 
EV 
o‘zaro teng kesmalar qo‘shilsa, AE=EB+BC bo‘ladi.
Arximed teoremasining turli xil isbotlarini bayon etgandan so‘ng, Beruniy siniq 
chiziqlarning xossalarini ifodalovchi yana bir necha teoremalarni keltirib, ularning ham IX — XI 
asr matematiklari tomonidan berilgan 18 xil isbotlarini, shuningdek o‘zi bajargan isbotlarni ham 
bayon etadi. 
So‘ngra Beruniy bu asarda geometrik yasashga doir qator masalalarni yechadi. Bulardan 
quyidagilarni keltiramiz. 
1. Ma`lum uzunlikdagi terak yer sirtiga perpendikulyar holda o‘sib turgan edi. U shamolda 
sindi va shun day bukildiki, uchi yerga tegdi. Terakning tagidan uning yerga tegib turgan uchigacha 
bo‘lgan masofa ma`lum. Terak singan joyining balandligini topish kerak.