Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

10.Doiralar bilan bog`liq bo`lgan nisbatlarning xossalariga doir asosiy geometrik 
masalalarga bag`ishlangan bob. 
Bu bobda oldin bayon etilgan nisbatlar nazariyasini tadbiq etish natijasida bir yoki ikki 
doiradagi burchaklar va yoylarining nisbatlari, aylanaga ichki chizilgan o`xshash shakillarning 
xossalari xaqidagi teoremalar va ularning isbotlari bayon etilgan. 
11.Doiralardagi vatarlarning xossalariga doir asosiy geometrik
masalalar to`g`risidagi bob. 
Bu bobda, doiraning shunday vatarlari aniqlanadiki, ular ichki chizilgan teng tomonli 
uchburchak, oltiburchak, beshburchak va o`nburchaklarning tomonlari bo`ladi. Bular quyidagi 
teoremalarda bayon etilgan: 
1-teorema. Aylananing oltidan bir bo`lagini tortib turuvchi vatar aylananing yarim 
diametriyaga tengdir. 
Isboti: AVSD doira berilgan bo`lsin (12 shakl).

---

39 
Uning markazi E nuqta va yarim diametri ES bo`lsin, S markazdan ES masofada ikkinchi 
aylana yasaymiz. U birinchi aylanani A va D nuqtalarda kesadi. AE, AS, DE va DS vatarlarni 
o`tkazamiz. U vaqtda ASE va DSE uchburchaklar teng tomonli bo`ladi. Bu uchburchaklarning xar 
ichki burchagi, to`g`ri burchakning 2G`3 bo`lagiga teng. SE ni V nuqtagacha davom ettiramiz. U 
vaqtda AEV burchagiga tug`ri burchak bilan uning uchdan bir bo`lagiga teng. DEV burchagi xam 
shunga teng bo`ladi. Bu burchaklarni EG` va EN chiziqlar bilan teng ikkiga bo`lamiz. Oltita o`zaro 
teng burchaklar, oltita yoylar va oltita vatarlar xosil bo`ladi. Vatarlarning xar biri AS ga teng, bu esa 
ES ga teng, demak yarim diametrga teng. Teorema isbotlandi. 
2-teorema. Agar teng tomonli uchburchak doiraga ichki chizilgan bo`lsa, u xolda uning biror 
tomonining o`ziga ko`paytmasi doira yarim diametrning o`ziga ko`paytmasining uch barovariga 
tengdir.Isboti: AVS uchburchak teng tomonli va ichki chizilgan bo`lsin:
D markazdan VS tomonga perpendikulyar 
tushirib, uni aylana bilan kesishguncha ikki 
tomonga davom ettiramiz. Bu perpendikulyar VS 
yoyini E nuqtada teng ikkiga bo`ladi. E va S 
nuqtalarni tushiramiz. U vaqtda AS ning o`ziga 
kupaytmasi bilan ES ning o`ziga kupaytmasi AE 
ning o`ziga ko`paytmasiga teng bo`ladi, bo` esa DE 
ni o`ziga ko`paytmasining to`rt baravariga teng. 
Bundan DE ning o`ziga ko`paytmasini, ya`ni SE 
ning o`ziga ko`paytmasini, ya`ni SE ning o`ziga 
ko`paytmasini ayirsak, AS ning o`ziga ko`paytmasi 
qoladi va bu DE ning o`ziga ko`paytmasining uch 
baravariga teng. Demak, ichki chizilgan uchburchak 
tomonining o`ziga ko`paytmasi, yarim diametrining 
o`ziga ko`paytmasining uch baravariga teng, ya`ni 
hozirgi belgilashlarga ko`ra: 
3-teorema. Agar VS to`g`ri chiziq aylananing o`ndan bir bo`lagini tortib turuvchi vatar 
bo`lsa (14-shakl)
SD aylananing oltidan bir bo`lagining vatari bo`lib, VS davomida, aylana tashqarisida 
joylashgan bo`lsa, u xolda VS ning DS ga 
nisbati, DS ning DV ga nisbatiga tengdir. 
Isboti. 
Faraz 
qilaylik, 
E 
nuqta 
aylananing markazi bo`lsin. EV va ES 
radiuslarni o`tkazamiz. ES ni A nuqtagacha 
davom ettiramiz. U xolda u diametr bo`ladi. 
AEV 
burchagi 
VES 
burchagining 
to`rt 
baravariga teng. CHunki AV yoyi VS yoyining 
to`rt baravariga teng. AEV burchagi ikkita ESV 
burchagiga teng. ESV burchagi, ikkinchi 
tomondan ikkita ED burchagiga teng. CHunki 
SDE uchburchagining yon tomonlari SE va SD 
ning har biri aylana oltidan bir bo`lagining 
vatari hisoblanadi. SHu sababli VES va EDS 
burchaklari o`zoro teng. Demak, VES va VED 
uchburchaklarining burchaklari mos ravishda 
teng va uchburchaklar uxshashdir. SHuning 

---

40 
uchun ularning mos tomonlari VS ning VE ga nisbati, VE ning VD ga nisbatiga teng. Lekin VE q 
SD, ya`ni Vs ning DS ga nisbati DS ning DV ga nisbatiga teng. Teorema isbotlandi. 
4-teorema. Agar VS ning SD ga nisbati SD ning VD ga nisbatiga teng bo`lsa va SD 
aylananing oltidan bir bo`lagi vatari bo`lsa, u vaqtda SV hamma vaqt aylananing o`ndan bir 
bo`lagining vataribo`ladi(14-shakl). 
Isboti: agar SD ga teng SE olib, shu masofada aylana chizsak va chizmani to`ldirsak, u 
vaqtda VDE uch burchakdan VD ning VSE uchburchakdan VE ga nisbati VDE uchburchakdan VE 
ning VSE uchburchakdan VSga nisbatiga teng bo`ladi. V burchak bu uchburchaklar uchun umumiy. 
SHuning uchun VED va VES uchburchaklar o`xshash bo`ladi. Demak, EVS burchagi D 
burchagining ikki baravariga teng va EVS burchagi VES burchagining ikki baravariga teng. Demak, 
U VES burchagi tiralgan yoyining to`rt baravariga teng. SHuning uchun AV yoyi VS yoyining
to`rt baravariga teng, ya`ni VS aylana o`ndan bir bo`lagining vatari bo`ladi. Teorema isbotlandi.