Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

 
Arifmetik progressiya
. Bu urinda Raynd papirusidagi 64-masalani olamiz. Bu masalada 10 ulchov 
birligidagi gallani 10 kishiga shunday ulushlarda bulib berish talab kilinadiki, natijada zamonaviy 
til bilan aytganda, ayirmasi 1G`8 ga teng bulgan arifmetik progressiya xosil buladi. Masalaning 
matni va echimi papirusda kuyidagicha keltiriladi: 
«Ayirmalarning taksimotiga misol. Senga aytilgan bulsin: 10 ulchov arpani 10 kishiga bulib ber. 
Xar bir odam bilan uning kushnisi olgan arpa farki 8 bulsin. Urta ulush 1 ga teng. 10 da 1 ni ayir. 
Bu 9 ga teng. Farkning yarmini anikla. Bu 16. Undan 9 ta ol. Bu 2 16 ni beradi. Uni urta ulushga 
kush. Xar bir odam uchun 8 ulchovdan ber, ya`ni ayir. Bu ishni to arpa tamom bulguncha davom 
ettir.» 
[Sungra, xamma 10 ta ulushlar keltiriladi va kushish orkali tekshirish bajariladi. Yigindi 10 

---

15 
ga teng bulishi kerak.] 
Keltirilgan matnni taxlil kilishga kirishar ekanmiz, bu masalada garchi arifmetik progresiya 
xakida xech kanday gap bormasada, bu masalani arifmetik progressiya yordamida echiladigan tipik 
masalalardan bittasi deb ta`kidlash tugri bular edi.
SHu davrda koidalarni yozish uchun xech kanday belgilashlar sistemasi mavjud bulmagani 
uchun, echimni sonlar orkali ifodalangan. echish yuli esa anik kursatib berilgan. Uni zamonaviy 
tilda kuyidagicha ifodalash mumkin: s orkali kamayuvchi arifmetik progressiyaning xadlarining 
yigindisini belgilaymiz. n-orkali uning xadlarini, d bilan esa uning ayirmasini belgilaymiz. (dq8) a
1
, 
a
2
, …, a
n
–uning xadlari xamda a
1
-eng katta xad bulsin. Masalani echish yuli kuyidagicha: 
1)
Urta arifmetik xisoblanadi: 
s:nq10:10q1 
2)
Xadlar sonidan 1 ni ayiramiz: 
n-1q10-1q9. 
3) Progressiyaning yarim ayirmasi xisoblanmokda: 
d:2q8:2q16 
4) YArim ayirma bir kam xadlar soniga kupaytirilmokda: 
16
2
)
1
8
(
16
9
16
)
1
(
2






n
d
5) Natijani urta arifmetikka kushilib, birinchi xad topilmokda: 
.
16
2
1
16
2
1
)
1
(
2
1






n
d
n
s
a
6) Kolgan xadlar ketma-ket ayirmani ayrilib topilmokda: 
.
16
8
4
1
8
16
2
1
1
2





d
a
a
.
16
4
1
8
16
8
4
1
2
3





d
a
a
va xokazo.
Kurinib turibdiki, xisoblashlar asosiga
)
1
(
2
1



n
d
n
s
a
formula kuyilgan.
Kuyilgan masalaning echish yuli shuni kursatadiki, biz bu erdagi masalada a, n, d, s va bu 
mikdorlar urtasidagi munosabatlarning algebraik talkinini kurmaymiz.
Ammo, biz eng oddiy «arifmetik fikrlashlar» bilan ish olib boramiz. Tugri, u xech erda 
kursatilmagan. CHunki, Misrliklar matematik ishlarining usuli shunday bulgan va uni tiklash juda 
oson.
Muloxazalar shubxasiz, progressiyaning urta arifmetik kiymati uning oxirgi xadlaridan bir 
xil masofada turgan xadlarning urta arifmetik kiymatiga aynan tengligiga asoslanadi. bunday 
konuniyat sonli misollarda yakkol kurinadi va xisobchi bu xolatni bilmasligi mumkin emas.