Mavzu: Matematik analiz. Haqiqiy sonlar to’plami. Reja

MAVZU:
Matematik analiz. Haqiqiy sonlar to’plami.

REJA:

• 
  Son tushunchasining kelib chiqishi va rivojlanishi
  
• 
  Pozitsion o‘nlik bo‘lmagan sanoq sistemalari.
  
• 
  Cheksizlik haqidagi birinchi tushuncha
  
• 
  Haqiqiy sonlar nazariyasini yaratish
  
• 
  Xulosa
  

Son tushunchasining kelib chiqishi va rivojlanishi
Matematikaning markazida eng qadimgi va eng mavhumlardan biri bo'lgan son tushunchasi yotadi. U alohida ob'ektlar hisobini umumlashtirish sifatida paydo bo'lgan. Hisoblash nafaqat odamlarga, balki qandaydir shaklda hayvonlarga, masalan, mushukka ham xosdir, u barcha mushukchalarining mavjudligini his qiladi.
Sanoqning dastlabki shakli konkret-sezuvchi xususiyatga ega. Bunday hisobni ibtidoiy odamlarda va hayvonlarda topish mumkin. Biroq, mavhum hisob-kitoblarga faqat odam qodir, deb aniq aytish mumkin emas. Primatlarning "Primatlar" elementlar soni belgisini tanib olish va umumlashtirish, bu mavhum belgi va ular uchun avval neytral bo'lgan ogohlantirishlar - arab raqamlari o'rtasidagi muvofiqlikni o'rnatish qobiliyati haqida ma'lumotlar mavjud. Raqamlar bilan belgilar sifatida ishlagan holda, ular to'plamlarni tartiblash va ularni "raqam" atributiga ko'ra tartiblash, shuningdek raqamga mos keladigan harakatlar sonini bajarish imkoniyatiga ega. Nihoyat, ular qo'shish uchun izomorf operatsiyalarni bajarishga qodir, ammo bu masala aniqroq tadqiqotni talab qiladi.”[12]. Korvidlardagi "miqdor" asosida ramzlashtirish va umumlashtirishning yuqori qobiliyati ham qayd etilgan .
Alifbo tartibidagi sanoq tizimlari. Bu erda raqamlar harflar bilan yoziladi. Harflarni raqamlardan ajratish uchun har bir harfga farqlovchi xususiyat beriladi. Raqamlarni yozish uchun ishlatiladigan harflar 9 tadan iborat guruhlarga bo'linadi. O'nlab va yuzlab birliklarni yozish uchun turli harf guruhlari qo'llaniladi, bu esa uni ishlatishni ancha murakkablashtiradi.
• Pozitsion o‘nlik bo‘lmagan sanoq sistemalari.
Hisoblash bilan deyarli bir vaqtda qo'shish va ayirishning matematik operatsiyalari tug'iladi ( kamaytirilgan ayirishdan katta bo'lsa). Keyinchalik, ko'paytirish takroriy qo'shimcha sifatida paydo bo'ladi. Bo'linish ko'paytirishdan ancha kechroq paydo bo'ladi, garchi oddiy kasrlar () tushunchasi nisbatan erta paydo bo'lgan. Cheksiz sonlar to'plami sifatida natural sonlar tushunchasi darhol paydo bo'lmagan. Tilda behisob katta sonlar haqidagi g‘oyalar saqlanib qolgan, masalan, rus tilida “zulmat”, “ko‘p” so‘zlari. Natural sonlar qatorining cheksiz davomi haqidagi eng aniq g'oya yunon matematiklari orasida topilgan. Miloddan avvalgi XII-VII asrlarda. (Gomer davri) eng katta son son-sanoqsiz (1000) bo'lib, keyinchalik u 10000 ni bildira boshlagan. Miloddan avvalgi III asrda . Arximed o'zining "Qum donalarini sanab o'tish" asarida o'zboshimchalik bilan ko'p sonni qurish imkoniyatini rad etdi.
Aksiomatik jihatdan natural sonlar toʻplami avval, keyin butun sonlar, keyin esa ratsional sonlar qurilgan boʻlsa-da, tarixiy jihatdan manfiy sonlar va noldan oldin ratsional sonlar paydo boʻlgan.
Dastlab, nol tushunchasi raqamlarni belgilashda nol raqamini belgilash sifatida paydo bo'lgan. Nolning birinchi ishonchli ishlatilishi Hindistonda topilgan va 9-asrga to'g'ri keladi.
Shuningdek, hind matematikasida manfiy raqamlarning eng aniq g'oyasi edi. “Hind matematiklari Brahmaguntadan (milodiy 7-asr) boshlab tizimli ravishda manfiy raqamlardan foydalanganlar va musbat sonni mulk, manfiy sonni esa qarz deb talqin qilganlar”, garchi biz manfiy sonlar ilk bor paydo boʻlgan deb daʼvo qila olmaymiz. Hindistonda. Manfiy sonning kvadrati musbat son ekanligi aniqlandi va manfiy sonning kvadrat ildizi borligi haqida ham savollar tug‘ildi. Bxaskaraning Vijaganita kitobidagi butun bob manfiy raqamlar bilan operatsiyalarga bag'ishlangan.
Xitoyliklar ham salbiy raqamlar haqida kamroq aniq fikrlarga ega edilar. Ularning paydo bo'lishi bugungi kunda chiziqli tenglamalar tizimi deb ataladigan muammolar bilan bog'liq edi. "Barcha hisob-kitoblar, shu jumladan matritsalarni o'zgartirishlar hisoblash taxtasida amalga oshirilganligi sababli, manfiy raqamlarni ko'rsatish uchun boshqa rang yoki shakldagi sanoq tayoqchalari ishlatilgan, yozishda esa turli rangdagi ierogliflar ishlatilgan".
Garchi "hech narsa" belgisini kiritish g'oyasi matematikada ancha oldin paydo bo'lgan bo'lsa-da, nol uzoq vaqt davomida raqam sifatida qabul qilinmagan.
Arablar manfiy sonning talqinini hindlardan “burch” deb qabul qilishgan, manfiy sonlardan foydalanish arab matematigi Abu-Al-Vafa asarlarida uchraydi. Qarz atamasini o'rta asr matematigi Leonardo Pizanskiy ( taxminan 1170-1250 yildan keyin, Fibonachchi nomi bilan tanilgan) arablardan qarzga olgan deb ishoniladi. “Qarz”dan tashqari “yo‘qdan kam” atamasi ham bor edi.
Yagona kasrlar dastlabki bosqichlarda yunonlar va shumerlar tomonidan ishlatilgan. Umumiy shakldagi kasrlar Gretsiyada paydo bo'ladi, garchi ular dastlab raqamlar sifatida qabul qilinmasa ham. Bizning tushunchamizga ko'ra, birinchi bo'lib yunonlar musbat ratsional sonlar guruhini tuzdilar.
Fraksiyalar Hindistonda ham uzoq vaqtdan beri ma'lum bo'lib, bunday kasrlar miloddan avvalgi II ming yillikning o'rtalariga tegishli. Bundan tashqari, hindular ularni zamonaviyni eslatuvchi tarzda yozib qo'yishdi: maxraj ustidagi raqam, lekin bo'linuvchi chiziqsiz. Fraksiyalar bilan ishlashning zamonaviy qoidalariga o'xshash bunday ob'ektlar bilan ishlash qoidalari ham ko'rsatilgan.
O'nli kasrlarning kelib chiqishi haqida bir necha so'z aytish kerak. O'nli kasrlar prototipi bobilliklar tomonidan qo'llanilgan kichik kichik kasrlar edi. U kasrlarni yozishning zamonaviy usuliga o'xshardi, chunki u maqsad va kasr qismini bir xil tarzda yozishga imkon berdi, bu esa hisoblarni ancha soddalashtirdi.
15-asrning birinchi yarmida oʻnlik sonlar nazariyasini samarqandlik matematik Jamshid Gʻiyosiddin al-Koshiy yaratgan . U sonning o‘nlik belgilarini tasvirlab berdi va o‘nli kasrlar bilan ishlash qoidalarini bayon qildi. Biroq, al-Koshiyning asarlari 20-asrning o'rtalariga qadar noma'lum bo'lib qoldi.
Evropada o'nli kasrlar muhandis Simon Stevin (1548-1620) tufayli paydo bo'ldi. U o'nli kasrlar haqidagi individual g'oyalar va g'oyalarni birlashtirib, ularni qizg'in targ'ib qildi. Davriy kasrlar matematiklar uchun katta qiziqish uyg'otdi. Ularni birinchi marta 15-asrda arab matematigi al-Maradini kashf etgan. Evropada davriy kasrlar masalasini Uollis 1676 yilda algebra haqidagi risolada jiddiy ko'rib chiqdi. Leybnits, Lambert, Eyler, Bernulli, Gauss va boshqalar ham davriy kasrlar bilan shug‘ullangan.