Mavzu: Matematik analiz. Haqiqiy sonlar to’plami. Reja

Cheksizlik haqidagi birinchi tushuncha
Yunon matematikasida umumiy qabul qilingan cheksizlik haqidagi birinchi tushuncha Anaksagor (miloddan avvalgi V asr) tomonidan ilgari surilgan va Knidlik Evdoks tomonidan ishlab chiqilgan. Evdoks charchoq usuliga ega bo'lib, u tengsiz muammoni hal qilishga qaratilgan. Buning uchun u kattaliklar nazariyasini aksiomatik tarzda quradi. Evdoksni tushunishdagi qiymatlar boshqacha tabiatga ega - segmentlar, raqamlar, vaqt, lekin barcha miqdorlar tavsiflanadi[1] :

1. Tranzitivlik. " Bir xillar bir-biriga teng."

2. “Agar tenglarga tenglar qo‘shilsa, qolganlar teng bo‘ladi”.

3. “Agar tenglardan tenglar ayirilsa, qolganlar teng bo‘ladi”.

4. Ekvivalentlik. "... bir-biri bilan birlashtirilganlar bir-biriga teng bo'lganlar bilan. "

5. Bir xil turdagi barcha miqdorlar buyurtma qilinadi, ya'ni.

6. “... butun qismdan kattaroqdir”.

7. “miqdorlar bir-biridan oshib ketish uchun koʻpaytirilsa, bir-biri bilan bogʻlangan boʻladi” (yoki zamonaviy talqinda: agar , unda shunday boʻladi) Evdoks bu aksiomani cheksiz katta miqdorlarni istisno qilish maqsadida kiritadi. U matematikada Arximed aksiomasi sifatida tanilgan, lekin Arximed nafaqat uning muallifi bo‘lgan, balki bu aksioma undan oldin ham ma’lum bo‘lganligini ta’kidlagan.

Ushbu aksiomatikning qurilishi haqiqiy son nazariyasi tomon muhim qadam bo'ldi.
O'rta asrlarda Evropada cheksizlik bilan bog'liq savollar asosan sxolastik va metafizik xarakterga ega edi.
Haqiqiy sonlar nazariyasini yaratish
Matematik tahlilda “narsalarni tartibga solish”dan so‘ng arifmetikadagi vaziyat haqida savol tug‘ildi. «Bu masalalarni yechishda qo‘llanilgan tahlilning ko‘plab muammolari va ba’zi bir fikrlash usullari haqiqiy sonlar nazariyasini ishlab chiqish zaruriyatini keltirib chiqardi». 19-asrda raqam nima ekanligini tushunish, poydevor muammosi. hali hal etilmagan. Bizning fikrimizcha, bu ratsional sonlar to'plamini to'ldirish muammosi edi. Ular buni quyidagi yo'l bilan hal qilishga harakat qilishdi:
Biz irratsional sonni ratsional sonlar ketma-ketligining chegarasi sifatida belgilaymiz. Bunday ketma-ketlikning birlashishini ko'rsatishimiz kerak. Buning uchun biz Koshi mezonidan foydalanamiz, u har qanday ratsional qiymatlar uchun amal qiladi, ammo haqiqiy sonlar uchun haqiqiy bo'ladimi degan savolga javob berish uchun ma'lum irratsional sonlar bo'lishi kerak. Bu ayovsiz doiraga aylandi.
Bu muammo 19-asrda Weierstrass, Dedekind, Kantor va Meret tomonidan turli nuqtai nazarlardan va bir-biridan mustaqil ravishda hal qilindi.