Mavzu: Laplas taqsimoti

Mavzu:Laplas taqsimoti
Bizga ma’lumki, agar (yashil) ochiq tòplamning potensiali bòlsa u holda da supergarmonik va ning dagi eng katta garmonik nol funksiya bòladi.
Bu yerda biz, teirema ni isbotlash uchun quidagi natijalarni keltiramiz.
Ta’rif: Biz barcha haqiqiy qiymatlarning vektor fazosini belgilash uchun dan foydalanamiz.
Da uzluksiz funksiyalar ning ixcham kichik tòplamidir va ning cheksiz differensiyallashuvchi elementlarining quyi fazasini belgilash uchun dan foydalanamiz.Agar lokal integrallansa, u holda da chiziqli funksiyalarni quidagicha aniqlaymiz.yuqorida Laplas taqsimoti deb nomlanadi.Agar da lakal integrallanuvchi boshqa bir funksiya olinsa, u holda da tenglik òrinli bòladi.
Teorema: (4.3.2)

1. 
   Agar bòlsa, u holda da har bir uchun tenglik òrinli bòladi.
   
2. 
   Agar bòlsa, u holda da nol funksiya hisoblanadi.
   
3. 
   Agar bòlsa, u holda da musbat chiziqli funksiya bòladi.
   

Isbot: va chegaralangan ochiq bòlsin. Bundan tashqari tòplamni òz ichiga olgan ochi tòplamda bolsin va ning òz ichiga olgan ochiq shar bòlsin, agar ni bòyicha 0 deb aniqlasak Grin formulasi hosil bòladi.
va hokazo bu 1. va 2. Ning isbotidir. 3. ni isbotlash uchun va lar yuqoridagidek bòlsin.
Teorema (3.3.3) dan da kamayuvchi ketma-ketlik ekanligidan, da intilishi kelib chiqadi.
Xususan, natija (3.2.8) bòyicha har bir uchun bòyicha tengsizlik òrinli.
Shunday qilib, bòlsa u holda, bòladi.
(4.3.1) da va monoton yaqinlashuvchanligidan foydalanib, degan xulosaga kelamiz.
Natija: (4.3.3) Agar bòlsa, u holda da òziga hos òlchovi mavjud bu yerda
Isbot: Biz 3.3 bobda har qanday da keltirilgan silliqlash funksiyasidan foydalanamiz.
Yetarlicha katta barcha uchun tegishli va ning bòlsa, bòyicha bir xildir.Teorema (4.3.2)ga kòra musbat chiziqli funksiyadir.
Bunda osonlik bilan Koshi ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun biz quidagilarni anaiqlashimiz mumkin
Bu da musbat chiziqli funksiyanj beradi, hamda ga teng
Bundan tashqari da bu xususiyatga ega bòlgan har qanday musbat chiziqli funksiya ni aniqlashda foydalanilgan tenglamani qanoatlantirilishi kerak, buning uchun yagona funksiyadir.
Natija Reisz teoremasidan kelib chiqadi.
Ta’rif: (4.3.4) Agar bòlsa, u holda ni òlchov dwb ataymiz. Natija (4.3.3) bilan boģliq Reisz òlchovi
Agar bòlsa, u Reisz òlchoviga boģliq subgarmonik funksiya.Shunday qilib, barcha hollarda Reisz òlchovi salbiy bòlmagan òlchovdir.Natija (4.3.3) ga kòra doimiy asos quidagi teorama (4.3.8) dan aniq bòladi.
Teorema(4.3.5) bòlsin va da bòlsin, u holda da shunday h mavjudki da.Xususan, agar va nol funksiya bòlsa, u holda bòladi.
Isbot: va yuqoridagi teoremada berilganidek bòlsin, bundan tashqari bòlgan, chegaralangan ochiq tòplam bòlsin va dan tanlab olinib (agar bòlsa bòladi) ga teng.
Biz aniqlaymiz bu yerda teorema (3.3.3) ning kirish qismida ifodsalangan funksiyasi.
Bu teoremadan kelib chiqadiki va integral belgisi ostida differensiyal hosil bòladi.l
qachonki da har bir uchun bòlsa, u holda va shuning uchun
Teorema (3.3.3) bòlishi kòrsatilgan
Agar bòlsa, u holda monoton konvergentsiyaga keladi.
Ning barcha yetarlicha kichik qiymatari uchun, bundan tashqari fiksirlangan uchun va funksiyalari bòyicha har xilda chegaralangan chunki va lokal integraldir.Demak funksiya teorema (1.5.8) bòyicha da garmonikdir.(4.3.2) dan ekanligini kòramiz va bòyicha ni olamiz
Korollary (3.2.6) ning ixtiyoriy ekanligini hisobga olgan holda teoremaning 1-tasdiqiga ega bòlamiz 2-tasdiq 1-dan kelib chiqadi.
Lemma: (4.3.6) va bòlsin, u holda dagi har bir uchun bòladi.
Isbot: va dagi bòlgan ochiq shar bòlsa, u holda Grin formulasi hosil bòladi.
bu yerda kichik va hokazo.
shuning uchun
Teorema (4.3.7) ning sohasida golomorf funksiya bòlsin.Shunday qilib, bòlsa, u holda lar funksiyaning ollari bòlsin, subgarmonik funksiya bikan boģliq Reisz òlchovi bòladi, bu yerda nuqtadagi konsentrylangan òlchovi.
Isbot: Biz ni markazi bòlgan ochiq diskda kòrinishida yozishimiz mumkin, bunda Glomorf va da nolga teng bòlmaydi.Shuning uchun va.Lemma (4.3.6) va teorema (4.3.2) 2. Dan kelib chiqadiki har qanday da uchun lar shaklida yozish mumkinligi sababli bu yerda va bòlganda aytilganidek Reisz òlchovi bilan boģlangan.
Teorema (4.3.8)
1.Grin ochiq toplam da potensial bilan boģlangan Reisz òlchovi ga teng bòladi.
2.dagi logarifmik potensial bilan boģlangan Reisz òlchovi ga teng bòladi.
Isbot: ni kabi yozib olamiz va bòlsin keyin
Teorema (4.3.2) bòyicha, chunki bòladi.
Endi va ni qaraylik. Fubini teoremasidan (4.3.3) va Lemma (4.3.6) dan quidagiga ega bòlamiz.
bunda 1.kelib chiqadi 2. Ni isbotlash uchun biz deb olamiz va bòlganni tanlab olamiz bunda va bòlsin, keyin va da shuning uchun bòladi.
Funksiya quidan chegaralanganligi sababli

1. 
   ni isbotlash uchun kerak bòlgan argument bu holda ham amal qiladi
   

Natija: (4.3.9) Grin ochiq tòpalam da potensial bòlsin va ning ochiq kichik tòplami bòlsin. da garmonik bòladi, agar bòlsa
Isbot: bòlsin. Agar bòlsa, u holda teorema (4.3.2) ga kòra kelib chiqadi,aksincha agar da teorema(4.3.2)dan ( ga qòllaniladi) va natija (4.3.3) dan kelib chiqadiki.Demak, teorema (4.3.8) dan
Natija: (4.3.3) ga qarama-qarshi yònalishda biz quidagini isbotlaymiz.
Teorema: (4.3.10) ochiq tòplam òlchov bòlsin, u holda shunday mavjudki, bilan boģlangan Reisz òlchovi bòladi.
Isbot: Har bir uchun bòlgan ixcham kichik tòplamdagi ketma- ketlik bòlsin.
Bundan tashqari ni shunday tanlaymiz ya’ ni har bir uchun ning chegaralangan kompanentasi nuqtasini òz ichiga oladi.
ni aniqlaymiz.
Songra va teorema( 2.6.4) dan har doim bòlganda kelib chiqadi, mavjud bòlib, da
Endi aniqlaymiz da va agar bòlsa qatorga e’tibor beramiz bir xilda garmonik funksiya yaqiblashadi. Demak da ni tanlab olinganda bòladi.
Keyin da.
Bu tenglamani òng tamonidagi 2-3- hadlar bòyicha garmonik bòlib teorema (4.3.8) dan quidagi kelib chiqadi
Demak, Reisz òlchovi bilan boģlangan.