Mavzu: Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya va uzluksizligi. Reja I. Kirish. II. Asosiy qism

1-teorema (ekstremum mavjud bo‘lishining zaruriy sharti). Agar funksiya nuqtada ekstremumga ega bo‘lsa, u holda bu nuqtada va xususiy hosilalar nolga teng bo‘ladi yoki ulardan hech bo‘lmaganda bittasi mavjud bo‘lmaydi.

nuqta funksiyaning ekstremum nuqtasi bo‘lsin. U holda bo‘ladi. Bu hosilalarni tenglama bilan berilgan sirtga nuqtada o‘tkazilgan urinma tekislikning

tenglamasiga qo‘ysak, yoki kelib chiqadi.

Bundan ekstrimum nuqtalarida sirtga o‘tkazilgan urinma tekislik Oxy koordinata tekisligiga parallel bo‘ladi degan xulosa kelib chiqadi. Bu xulosa ikki o‘zgaruvchi funksiyasi ekstremumi zaruriy shartining geometrik ma’nosini bildiradi.

Xususiy hosilalar nolga teng bo‘ladigan nuqtalarga statsionar nuqtalar deyiladi.

Xususiy hosilalar nolga teng bo‘ladigan yoki ulardan hech bo‘lmaganda bittasi mavjud bo‘lmagan nuqtalarga kritik nuqtalar deyiladi.

Kritik nuqtalarda funksiya ekstremumga ega bo‘lishi yoki ega bo‘lmasligi mumkin. Masalan, funksiya uchun nuqta kritik nuqta bo‘ladi, chunki bu nuqtada har ikkala xususiy hosila nolga teng va Bunda nuqtaning atrofida bo‘ladigan nuqtalar ham ( va chorak nuqtalari) bo‘ladigan nuqtalar ham ( va chorak nuqtalari) mavjud bo‘ladi. Shu sababli nuqta ekstremum nuqta bo‘lmaydi. Bunday nuqtaga minimaks nuqta deyiladi.

2-teorema (ekstremum mavjud bo’lishining yetarli sharti). funksiyaning statsionar nuqtaning biror atrofida birinchi va ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalari mavjud va bunda bo‘lsin. U holda

a) agar bo‘lsa, funksiya nuqtada ekstremumga ega bo‘lib, bunda (yoki ) bo‘lganda nuqta maksimum nuqta, (yoki ) bo‘lganda nuqta minimum nuqta bo‘ladi;

b) agar bo‘lsa, nuqtada ekstremum mavjud bo‘lmaydi;

c) agar bo’lsa, nuqtada ekstremum mavjud bo‘lishi ham, mavjud bo‘lmasligi ham mumkin ( bu holda qo‘shimcha tekshirishlar o’tkaziladi).

Teoremaga (hamda 1-teoremaga) asoslangan ikki o‘zgarubchi funksiyasini ekstremumga tekshirish tartibi bilan tanishamiz.

funksiyani ekstremumga tekshirish tartibi:

, xususiy hosilalar topiladi;

Statsionar nuqtalar aniqlanadi;

xususiy hosilalar topiladi;

hususiy hosilalarning statsionar nuqtalardagi qiymatlari hisoblanadi;

Har bir statsionar nuqtada ning qiymati hisoblanadi va

2-teorema asosida xulosa chiqariladi.

Misollar . 1. funksiyani ekstremumga tekshiramiz.

.

sistemani yechib, statsionar nuqtani topamiz:

Ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni topamiz:

Demak, barcha nuqtalarda, jumladan nuqtada

bunda Demak, nuqta minimum nuqta va
2. Kimyoviy reaksiyada va miqdordagi konsentratsiyalar bilan 3 xil modda ishlatiladi. Reaksiya vaqt doimiyligi ushbu qonun bilan ifodalanadi



va konsentratsiyalar maksimal tezlikda reaksiya borishni toping.