|
Математик модел ва унинг турлари
Математик модел – бу тадқиқ қилинаётган объект-оригинал хоссаларининг математика тилида ифодаланишидир. Масалан, мактаб математика курсидан яхши маълум Пифагор теоремаси тўғри бурчакли учбурчак томонларининг метрик хоссасини тавсифлайди, шунинг учун уни шундай учбурчакнинг математик модели сифатида қараш мумкин.
Математик моделни қуриш учун барча математик воситалар – алгебраик, дифференциал, интеграл тенгламалар, тўпламлар назарияси, алгоритмлар назарияси ва шу кабиларни кўлланиши мумкин. Умуман олганда, математика фанини объект ва жараёнларнинг моделларини қуриш ва тадқиқ қилишдан иборат илмий фаолият натижаси деб ҳисоблаш мумкин.
Математик моделлар қуйидаги уч хил йўл билан ҳосил қилинади:
Реал объект ёки жараённи тўғридан-тўғри ўрганиш натижасида.
Дедукция жараёни натижасида. Янги модел бирор умумий моделнинг хусусий ҳоли сифатида пайдо бўлади.
Индукция жараёни натижасида. Янги модел элементар моделларнинг умумлашмаси сифатида пайдо бўлади.
Моделларни турли мезонлар буйича классификация қилиш мумкин. Масалан, ечиладиган муаммолар характерига караб, моделларни функционал ва структуравий моделларга ажратиш мумкин. Биринчи холда ходиса ёки объектни характерлайдиган барча катталиклар микдорий ифодаланади.
Бунда улардан баъзилари эркин ўзгарувчилар, бошқалари эса шу миқдорларнинг функциялари сифатида қаралади. Математик модел, одатда, қаралаётган катталиклар ўртасида микдорий боғланишларни ўрнатувчи турли типдаги тенгаламалар системасини (дифференциал, алгебраик ва бошкалар) ифодалайди.
Иккинчи ҳолда эса модел ўзаро боғланган алохида қисмлардан иборат бўлган мураккаб объект структурасини характерлайди. Одатда, қисмлар орасидаги боғланишларни микдорий жиҳатдан ўлчаб бўлмайди. Бундай моделларни қуриш учун графлар назариясидан фойдаланиш қулай ҳисобланади.
Математик моделлар класификациясининг муҳим белгиси қаралаётган математик ўзгарувчиларнинг табиати хисобланади. Бу ўзгарувчилар асосан икки синфга ажратилади. Улардан бирига маълум характеристикалар, яъни аник ўлчаш(ҳеч бўлмаганда назарий) ва бошқариш мумкин бўлган катталиклар киради; улар детерминистик ўзгарувчилар дейилади. Иккинчи синфга номаълум характеристикалар, яъни ҳеч қачон аниқ ўлчаб бўлмайдиган ва тасодифий характерга эга бўлган катталиклар киради; улар стохастик ўзгарувчилар дейилади. Моделни қуришда ўзгарувчиларнинг табиати тўғри аниқланган бўлиши жуда мухимдир.
Масаланинг математик қўйилишида фойдаланиладиган катталиклар детерминистик ёки стохастик характерда бўлишига қараб моделларни детерминистик моделлар ёки эхтимолий – статик моделлар деб атайдилар. Биринчи типдаги моделлар асосида аниқ, бир қийматли натижаларни олдиндан айтиб бериш мумкин. Иккинчи тип моделлари эса статик информацияга асосланган бўлиб, улар орқали олинадиган натижалар эҳтимолий характерга эга.
Масаланинг қўйилишига караб математик моделлар асосан икки гурухга бўлинади: дескриптив моделлар ва оптималлаштириш моделлари.
Дескриптив моделлар одатда системанинг механик ёки физик ҳолатини тавсифлайди ва кўпинча ва дифференциал, дифференциал–айирмали, интеграл тенгламалар, бундай тенгламалар учун чегаравий масалалар ёрдамида берилади. Бундай моделларга мисоллар сифатида иссиклиқ тарқалишининг, электр майдонининг, кимёвий кинетиканинг, гидродинамиканинг моделларини олишимиз мумкин.
Дескриптив моделлар объект(жараён, система) ҳолатини ифодалаш ва башорат қилиш учун хизмат қилади. Шунинг учун бундай моделларни башорат моделлари (ёки бошқарувсиз ҳисоблаш моделлари) деб атайдилар.
Ушбу моделларнинг асосий қўлланиш мақсади: бошланғич ҳолатни ва чегаравий ҳолат ҳақидаги информацияни билган ҳолда системанинг вақт ва фазодаги ҳолати ўзгаришини олдиндан айта билиш(башорат қилиш).
Дескриптив моделни қуришга мисол сифатида сув ҳавзаси(масалан, кўл)даги балиқлар популяциясининг сонини башорат қилиш масаласини қараймиз.
х(t) – бу ерда t вакт моментидаги балиқлар сони, х(0)=х0 – бошланғич вақт моментидаги балиқлар сони бўлсин. Табиийки, дастлабки йиллари ҳар бир балиқ учун озуқа ва яшаш майдони етарлича бўлгани учун балиқлар сонининг ўсиш тезлиги уларнинг сони х га пропорционал, яъни dx/dt=kx бўлади, бу ерда k – пропорционаллик коэффициенти. Бу эса баликлар сони канча кўп бўлса, бирлик вакт давомида улар шунча кўп насл қолдиришини(яъни, популяциянинг ўсиш тезлиги каттароқ эканлигини) билдиради.
Лекин х нинг ўсиши билан кўлдаги баликларнинг кўпайиб кетиши ҳисобига баликлар сонининг ўсиши тезлигига чеклаш пайдо бўладики, биз буни соддалашган ҳолда учрайдиган баликлар сонига пропорционал деб хисоблаймиз: а , бу ерда а –пропорционаллик коэффициенти. Шундай қилиб қуйидаги моделни ҳосил қилиш мумкин: dx/dt = kx – ах2 .
Келтирилган тенгламанинг ечими
кўринишда бўлади. Ҳосил қилинган моделдан муайян вақтдан сўнг баликлар сонини қанча бўлишини олдиндан аниклаш учун фойдаланиш мумкин.
Агар моделлаштиришнинг мақсади нафакат жараённи тавсифлаш ва башорат килиш, балки бу жараёнга оптимал таъсирларни топиш ҳам зарур бўлса, унда моделнинг ўрганилаётган жараёнга таъсир кўрсата оладиган параметрларидан инсон таъсир эта оладиган параметрлари танланади. Булар бошқарув ўзгарувчилари деб аталувчи (u) ўзгарувчилардир. Кейин қўйилган масалага боғлиқ ҳолда системанинг қайси чиқиш параметрлари танлаш ва уларнинг қандай қийматларини олиш кераклиги аникланади. Барча чиқиш параметрларини шундай ягона W(u) функцияга бирлаштириш лозимки, у ёрдамида мақсадни ифодалаш қулай бўлсин. Масалан, u бошқарувчи таъсирларга оптимал кийматни танлаш эвазига W(u) ни максимумлаштириш мақсади. Ана шундай моделлар оптималлаштириш моделлари дейилади. Аммо улар баъзан тавсифловчи(дескриптив) моделлар асосида ҳам қурилади. Қуйида оптималлаштириш моделларнинг умумий схемаси келтирилган:
Do'stlaringiz bilan baham: |
