Mavzu: Iteratsiya usuli va uning yaqinlashishi. Bajardi: 022-guruh talabasi. Jo’rayev Temurbek. Tekshirdi: Mustapakulov Yazdon. Toshkent-2019 Reja

O’zbekiston Respublikasi Axborot Texnologiyalari Va Kommunikatsiyalarini Rivojlantirish Vazirligi Muhammad Al-Xorazmiy Nomidagi Toshkent Axborot Texnologiyalari Universiteti

Algoritmlash va matematik modellashtirish kafedrasi
Sonli usullar va chiziqli dasturlash fani bo’yicha
Mustaqil ish

Mavzu: Iteratsiya usuli va uning yaqinlashishi.

Bajardi: 022-guruh talabasi.
Jo’rayev Temurbek.
Tekshirdi:Mustapakulov Yazdon.

Toshkent-2019


Reja:

1. 
   Iteratsiya usuli.
   
2. 
   Iteratsiya usulining yaqinlashishi.
   
3. 
   Iteratsiya usulida tuzilgan dasturni tahlil qilish.
   

Iteratsiya usuli.


n noma’lumli n ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini matritsa ko‘rinishda ifodalanadi:
(3.1)

Bu yerda A n - tartibli kvadrat matritsa, lar esa n tartibli ustun matritsalari. Ularni n o‘lchovli chiziqli fazo vektorlari sifatida ham tushunish mumkin. U holda (3.1) tenglikni n o‘lchovli chiziqli fazoda akslantirish deb ham tushuntirish mumkin. Bizga bu yerda aynan shunday tahlil ancha qulay bo‘ladi.

(3.2)

Bu holda (3.1) tenglik n o‘lchovli fazoning har bir elementiga shu fazoning biror elementini berishini ko‘ramiz. Uning koordinatalari (3.2) formula bo‘yicha matritsalarni ko‘paytirish qoidasiga ko‘ra topiladi. Bu yerda vektor vektorning A matritsa bilan berilgan akslantirishdagi obrazi deb tushuniladi.

Teskari masala, ya’ni obraz berilgan bo‘lsa (3.1) tenglama orqali proobraz ni topishdan iborat bo‘ladi. Bu esa aynan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi (3.1) ni yechishdan iborat bo‘ladi. Albatta, agar A matritsa uchun teskari matritsa topilsa (3.1) tenglama yechimini
(3.3)
ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘ladi. Lekin ni topish uchun uning ta noma’lum elementlarini topish kerak bo‘ladi. Bu esa o‘ziga yarasha ancha murakkab masala. Hattoki (3.1) sistemani ishlashdan ham murakkabroq masala bo‘ladi. Shuning uchun (3.1) sistemani yechishda turli taqribiy usullardan foydalaniladi. Bu yerda yana bir holatni hisobga olish kerak. Odatda, amaliy masalalar bilan bog‘liq sistemalarda koeffitsientlar turli fizik miqdorlarning qiymatlari bo‘lib, ularning qiymatlari o‘lchash vositalari yordamida aniqlanadi. Shuning uchun ularning qiymatlarini aniq deb bo‘lmaydi. Bunday holatda (3.1) sistema aniq bir yechimini ham ana shu xatoliklar ta’sirida faqat taqribiy aniqlash mumkin. Yuqoridagilarni hisobga olgan holda (3.1) sistema yechimini biror aniqlikda aniqlash masalasini qo‘yish mumkin.
Taqribiy usullarni esa hisoblash uchun qulay, dasturlash uchun ham qulay ko‘rinishda tanlash kerak bo‘ladi. Bu usullarni tuzishda (3.3) formula tayanch qoida sifatida xizmat qiladi. A matritsani A=D+B ko‘rinishda ifodalaymiz. Bu yerda D – dioganal matritsa bo‘lib, elementlari . Qolgan elementlari esa nol deb olinadi. B – matritsa esa dioganal elementlari nol qolgan barcha elementlari A matritsa elementlariga teng.

Bu holda (3.1) sistema

(3.4)

ko‘rinishni oladi. (3.4) tenglikdan

(3.5)

tenglik hosil bo‘ladi. (3.5) formula oddiy iteratsiya usuli uchun asos qilib olingan. Agar (3.1) sistema yechimi uchun biror boshlang‘ich yaqinlashish berilgan yoki topilgan bo‘lsa, uni deb olib keyingi yaqinlashishlarni

(3.6)

formula bo‘yicha hisoblaymiz. Hisoblashlar to kerakli aniqlik ga erishgancha davom etdiriladi. (3.6) tenglikni koordinatalar bo‘yicha yozib chiqsak oddiy iteratsiya usulining ishchi formulalarini hosil qilamiz.

(3.7)

Talab qilingan aniqlikka erishish sharti (me’zoni) sifatida esa

(3.8)

shartdan foydalansa bo‘ladi. Agar (3.8) bajarilmasa ni deb, yana (3.7) formula bo‘yicha hisoblashga o‘tamiz. Boshlang‘ich yaqinlashish sifatida esa qiymatlarni olish mumkin.

Zeydel usulida oddiy iteratsiya usulidan farqli har bir hisoblangan qiymat bevosita keyingi qiymatlarga qo‘yib boriladi. Bu holda ishchi formulalar


(3.9)

ko‘rinishda olinadi. Jarayonning tugash sharti sifatida esa bu yerda ham (3.8) tengsizlikdan foydalaniladi.

Oddiy iteratsiya va Zeydel usullarining yaqinlashish sharti sifatida matritsa normasi birdan kichik bo‘lish shartini olish kerak bo‘ladi. Shunda (3.6) tenglik n o‘lchovli fazoda qisqartma akslantirishni ifodalar ekan.
Amaliyotda oddiy iteratsiya va Zeydel usullarining yaqinlashish yetarli sharti sifatida quyidagi shartni olinadi.


. (3.10)

Oddiy qilib aytganda, A matritsa dioganal elementlari absolyut qiymat bo‘yicha o‘zi joylashgan qatordagi qolgan elementlarning absolyut qiymat bo‘yicha yig‘indisidan katta bo‘lishi kerak.