|
Berilgan differentsial tenglamani taqribiy ifodalovchi ayirmali sxemalarni yozish uchun quyidagi ikkita amal bajarilishi kerak.
Argumentning uzluksiz o`zgarish sohasini uning diskret o`zgarish sohasiga almashtirish kerak;
Differentsial operatorni qandaydir chekli ayirmali operatorga almashtirish, bundan tashqari chegaraviy shartlar va boshlang`ich ma`lumotlar uchun ayirmali almashtirishlar tuzish kerak.
Bu jarayon amalga oshirilgandan keyin algebraik tenglamalar sistemasiga o`tamiz.
Uzluksiz argumentning barcha qiymatlari uchun ayirmali masalani echib bo`lmaydi. SHuning uchun bu sohada qandaydir chekli sondagi nuqtalar to`plami olinadi va faqat shu nuqtalarda taqribiy echim izlanadi. Bunday nuqtalar to`plamiga to`r deyiladi. Nuqtalarning o`zi esa to`r tugunlari deb ataladi.
To`r tugunlarida aniqlangan funktsiyaga to`rli funktsiya deyiladi.
SHunday qilib differentsial tenglama yechimlari fazosini to`r funktsiyalar fazosi bilan almashtirdik.
1 misol. Kesmada tekis to`r. kesmani ta teng bo`lakga bo`lamiz. to`r qadami deb ataladi. Bo`linish nuqtalari - to`r tugunlari deyiladi. Barcha tugunlar to`plami to`rni tashkil qiladi. Bu to`plamga chegaraviy nuqtalarni qo`shish mumkin, ya`ni deb belgilaymiz.
2 misol. Tekislikda tekis to`r. sohada aniqlangan ikki o`zgaruvchili funktsiyalar to`plamini qaraymiz.
x o`qining va o`qining kesmalarini mos ravishda va ta bo`laklarga bo`lamiz. bo`lsin. Bo`linish nuqtlaridan o`qlarga parallel to`g`ri chiziqlar o`tkazamiz. Natijada bu to`g`ri chiziqlar kesishishidan tugunlarni hosil qilamiz, ular to`rni tashkil qiladi.
Bu to`r va yo`nalishlar bo`yicha va qadamlarga ega.
SHunga o`xshash kesmada yoki tekislikda notekis to`rni qurish mumkin.
tekislikda chegarali murakkab ko`rinishli soha berilgan bo`lsin.
to`g`ri chiziqlar o`tkazamiz. U holda to`rni hosil qilamiz. « » bilan ichki, « » bilan esa tashqi nuqtalar belgilangan. Ichki nuqtalar to`plamini bilan, chegaraviy nuqtalar to`plamini bilan belgilaymiz. Shunday qilib to`r yo`nalishlar bo`yicha tekis, ammo soha uchun to`r esa chegara yaqinida notekis.
Uzluksiz argumentli funktsiyalar o`rniga to`r funktsiya olinadi. to`r funkiyani vektor ko`rinishda berish mumkin.
Odatda to`r to`plami qadamga bog`liq bo`ladi. Mos ravishda to`r funktsiyalar ham parametrdan bog`liq bo`ladi. Agar to`r notekis bo`lsa sifatida vektor qaraladi.
Uzluksiz argumentli funktsiyalar qandaydir funktsional fazo elementlaridan iborat. to`r funktsiyalar esa fazoning elementlari. SHunday qili chekli ayirmalar usuli fazoni to`r funktsiyalarning fazosiga o`tkazadi.
fazodagi norma kabi chiziqli fazoda norma kiritiladi.
Bir qator normalarni keltiramiz
da normaning to`r ko`rinishi:
yoki .
da normaning to`r ko`rinishi:
yoki .
Taqribiy usullar nazariyasining asosiy e`tibori ning ga yaqinligini baholashga qaratiladi. Biroq va lar turli fazolarning vektorlaridir.
Baholashning ikkita imkoniyati mavjud:
da berilgan funktsiya sohaning barcha nuqtalarida aniqlanadi (masalan, chiziqli interpolyatsiya yordamida). Natijada uzluksiz argumentli funktsiyani olamiz. ayirma ga tegishli bo`ladi. ning ga yaqinligi bilan xarakterlanadi, bunda - dagi norma.
fazo ga akslantiriladi. Har bir funktsiyaga mos to`r funktsiyaga o`tkaziladi, ya`ni . Bunda - dan ga o`tkazuvchi chiziqli operator. Bu moslikni turli yo`llar bilan amalga oshirish mumkin ( turli operatorlarni tanlash bilan). Agar uzluksiz funktsiya bo`lsa, deyish mumkin, bu erda . Ba`zan tugunda berilgan tugunning qandaydir atrofi bo`yicha ning o`rta integral qiymati bilan aniqlanadi. Bundan keyin - uzluksiz funktsiya va barcha lar uchun bo`ladi deb faraz qilamiz.
to`r funktsiyaga ega bo`lib, fazoning vektori bo`lgan ayirmani hosil qilamiz. ning ga yaqinligi bilan xarakterlanadi, bunda - dagi norma. Bunda fazodagi norma normani barcha vektor uchun approksimatsiyalaydi
deb faraz qilish tabiiydir. Bu shartni va fazodagi normalarning o`zaro kelishganlik sharti deb ataymiz.
Biz bundan keyin ikkinchi yo`ldan foydalanamiz.
II BO’LIM. ISSIQLIK O’TKAZUVCHANLIK MASALALARI UCHUN ALGORITMLAR.
2.1 Oddiy differensial operatorlarning ayirmali approksimatsiyasi
chiziqli differentsial operator bo`lsin. ga kiruvchi hosilalarni ayirmali munosabatlar bilan almashtiramiz, o`rniga shablon deb ataluvchi biror to`r tugunlari to`plamida to`r funktsiya qiymatlarining chiziqli kombinatsiyasidan iborat ni hosil qilamiz:
yoki
,
bu erda - koeffitsientlar, - to`r qadami, - nuqtadagi shablon. ni ga bunday taqribiy almashtirish differentsial operatorni ayirmali operator bilan approksimatsiyalash deyiladi (yoki operatorning ayirmali approksimatsiyasi deyiladi).
operatorni ayirmali approksimatsiyaga keltirishda shablon tanlash zarur, ya`ni operatorni approksimatsiyalash uchun qo`llash mumkin bo`lgan to`r funktsiyaning qiymatlaridan bog`liq bo`lgan tugun bilan qo`shni tugunlar to`plamini ko`rsatish kerak.
Lemma. Agar bo`lsa
,
va agar bo`lsa
,
formulalar o`rinli bo`ladi.
Isbot. Integral shakldagi qoldiq hadi bilan olingan Teylor formulasidan foydalanamiz
, (5)
bunda
.
Integral uchun o`rta qiymat haqidagi teoremani qo`llaymiz
,
bunda - kesmada ning o`rta qiymati,
.
(5) da ni va a ni bilan almashtirib, va uchun mos ravishda quyidagilarni olamiz
, (6)
. (7)
Bu erda ni ga, ni almashtirib
, (8)
(9)
formulalarni olamiz.
(6), (8) dan quyidagini olamiz
,
bunda
bo`lganligidan o`rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanish mumkin, natijada
,
bu erda - kesmada o`rta nuqta.
(7) va (9) dan
hosil qilamiz, bu erda
.
va uzluksizligidan, o`rta qiymat haqidagi teoremani qo`llab
,
ni olamiz va shu bilan lemma isbotlanadi.
4 misol. , .
- tekislikda nuqta bo`lsin. SHablonni aniqlaymiz. U to`rtta nuqtadan tashkil topgan bo`lsin (a rasm).
ni quyidagicha aniqlaymiz
.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz
.
Unda
va
. (10)
b rasmdagi shablondan foydalanilganda, momentda olinsa, u holda
. (11)
(10) va (11) larning chiziqli kombinatsiyasini olib, va bo`lganda oltinuqtali shablonda (v rasm) aniqlangan chekli operatorlarning bir parametrli oilasini hosil qilamiz
. (12)
operatorlar ning approksimatsiya tartibiga ega, (12) esa bo`lganda , bo`lganda approksimatsiya tartibiga ega.
5 misol.
.
Quyidagi shablonlardan foydalanilamiz
Approksimatsiyalardan biri (v rasm)
, (13)
bunda
.
a) shablonda:
. (14)
To`qqiznuqtali shablonda (g rasm) ayirmali operatorlarning ikkiparametrli oilasini yozish mumkin
. (15)
(15) dan bo`lganda (13), bo`lganda esa (14) kelib chiqadi.
(13), (14), (15) ayirmali operatorlar approksimatsiya tartibiga ega.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
