Mavzu: Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar nazariyasi taqqoslash teoremasi. Chegaraviy masalalar. Grin funksiyasining mavjudligi va yagonaligi haqida teorema

II. ASOSIY QISM.
"Ikkinchi tartibli differenstil tenglmalar nazariyasi taqqoslach teoremasi.Chegaraviy
masalalar. Grin funksiyasi. Grin funksiyasining mavjudligi va yagonaligi
haqida"mavzusi bo‘yicha tarqatma material
Ma'lumki ikkinchi tartibli bir jinsli
y" + P1^(x) y' + P2^(x) y = ^{0 (1)}
tenglamaning bitta y₁( x) xususiy yechimi ma'lum bo'lsa, uning umumiy yechimi





У = У1

j c₁£^{-j p}i^{( x)dx}

y₁²

dx + C2

formula bilan aniqlanar edi. Bunda P₁(x) ва P₂(x) lar ko'rilayotgan oraliqda uzluksiz
funksiyalardir.

KIRISH. 2
I. 2
F(x, у, у', у”,..., y¹”) = 0 (1) 2
к 5
) 5
d_ ^f I 5
= e = e^{ln x} = x 5
к ^a ) 5
^J p^(x) 5
I" 7> 1111 8
Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamani tebranmas va tebranuvchi yechimlari. Taqqoslash teoremasi 8
^xk = ^xk+1 ^{- x}k = = - 9
Shturm teoremasi 11
^P < i— 13
< 13
) 14
—- 14
Chiziqli chegaraviy masala. 16
Bir jinsli chegaraviy masala. 16
Bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masala. 18
III. XULOSA. 22
^f ' dx + c₂ 22
^d f p^{( x) dy} V q^{( x)} у =⁰ 22
IV. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR: 24

bundan kurinadikim, o'ziga qo'shma differensial tenglamada у' oldidagi koeffisiyent y" oldidagi koeffisiyentning hosilasiga tengdir.
Xossa1 Xarqandayikkinchitartiblibirjinslichiziqlitenglamanio'zigaqo'shmabo'lgandifferen sialtenglamagakeltirishmumkin.
^P0^(x) У"+^р1(^х) У'+^P2^(x) У = ⁰ (3)
differensial tenglama berilgan bo'lsin. P_o(x) Ф 0.
(3) tenglamaning xar ikkala tomonini p(x) ga ko'paytirganda,yo'ziga qo'shma bo'lgan differensial tenglamaga aylansin, ya'ni quyidagi shart bajarilsin.
⁽P^P0⁾ ' = P^P1
Bundan p'Pp - pP_{} = p, p' P0 = p (P1 - P0)
^dP = ^pL-^pi dx = - ^P0^x> dx₊^P(x) dx
p р0 р0( x) р0( x)
integrallasak

bunda


ln p = — ln Po + I^PX'⁾ dx + C, C = 0 ^o Po(x)
, pS»* ц = _L_e ^po<x)
P>( x)
_fP1( x)
1 ^J
P° (x) e
°⁽ Po(x)
P^ dx


d_ ^f I
dx


P0(x)


dx i | dx
y" + Pl(x)-^e ''
P0(x)
„ , \ I—dx
+ W e^J P^x) y = о
Po( x) ^Л


P ( x ) dx
+ш e '' _y=о
P0(x)


к
ax j
Po( x) ^dy ^dx I
)
Idx p(x) = e ^Po(x)


(6)


_| S™. dx q^(x)=Px^{e Po(x)
P}o^{( x)}
deb olsak (2) tenglamaga ega bo'lamiz (6) dan ko'rinadikim
p(x) > 0.
Misol-1 Bessel tenglamasini o'ziga qo'shma bo'lgan differensial tenglamaga keltiring.
x² y” + xy' + (x² — n²) y = 0
Bu yerda p_o (x) = x² p₁(x) = x p₂ (x) = x² - n²
J PL(x) dx p(x) = e ^Po(x) = e ^x
: dx
po(x)


P2(x)


\^^Xdx


dx
= e = e^{ln x} = x


q( x) = e
p0(x)
c


2 2 2
x - n n
- x = x _x² x


^{d f}_xdy dx к dx )


x— I + x y = 0


к ^a )
Bu Bessel tenglamasiga qo'shma bo'lgan differensial tenglamadir.
Xossa 2. Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani erklio'zgaruvchini almashtirish yordamida uni xamma vaqt y""+Q(t)y =o
Ko'rinishga keltirish mumkin.
Bunda Q(t) g C(I) I = (a; b)
Faraz etaylik ikkinchi tartibli differensial tenglama o'ziga qo'shma xolga keltirilgan bo'lsin. ^d к p^{( x) d} V q^{( x)} y = ⁰ dx к dx )


(8)


(9)


Bunda


dx
t = I
^J p^(x)


Almashtirishni olamiz.
(16) ga asosan



p(x) Ф 0, p(x) > 0bo'lgani uchun




dt
dx

1
P^{( x)}

> 0ga ega bo'lamiz.

Bundan t o'zgaruvchi ning monotan o'suvchi funksiyasi ekanligi kelib chiqadi.
Bundan chiqadikim, xam ning uzluksiz va differensiallanuvchi funksiyasi sifatida
interavalda aniqlanadi.
dy dy dt 1 dy
desak— = = bajariladi.
dx dt dx p( x) dt
U xolda ^d(p^] = ^[p(x)'^d '^d ' ^d&] (11)
dx dx) dt p(x) dt) dx p(x) dt dt)
(11) ga asosan (9) \ — | + q( x) y = 0 (10)ni e'tiborga olsak keyingi tenglamani
p(x) dt dt)
_d²_y
+ Q(t) y = 0
dt²
ko'rinishda yoza olamiz.
Bunda ^Q(t⁾ = p⁽p^{(t ))}q⁽^^(t))
Misol-2 xy" + i y’ - y = 0

dx
р = ¹ £ 1^x
x

1 ^1ln(x)
= — e¹

1 1
Off¹ Or
X² y ■ X ² y - X
2

dx

1 A
_x 2 dy dx
к 7

-x

—2 ^- У = ⁰ ^1,2 = i¹
_dt2 ^1,2
-t . t -2y[x, -Hx
y — C1e + C2e — C1e + C2e
Xossa 3. Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani, noma'lum funksiyani chiziqli almashtirish yordamida.
z” +1 (x) z = 0

ko'rinishga keltirish mumkin.
y" + p( x) y' + q(x) y = 0 (12)

tenglamada y = u(x) z

(13)

almashtirishni olamiz. Bundan
y = uz ■ u z y = uz ■ 2u z ■ u z

Bu qiymatlarni (12) ga qo'ysak
uz" + 2u z ' + u" z + p( x)(uz' + u' z) + q(x}uz = 0

uz ■ (2u ■ p(x)u) z ■ (u ■ p(x)u ■ q(x)u)z = 0

(14)

z" ■ | ■ p(x) |z' + — (u" + p(x)u' + q(x)u)z = 0
к u 7 u

u( x) ixtiyoriyfunksiyabo'lganiuchununishundaytanlabolamizkim

2u
■ p(x) = 0
u

bajarilsin.

du
u

u =e ²

bundan	i — J p(x)dx u' = -—p(x)e 1

—1 P( x)dx


1 1

1. 
   • x 2 = x~ 2
   

2
^-1J p^{( x)dx} 1 о ^-1J P^{( x)dx
1 2} + —p²(x)e ²
Bu qiymatlarni (14) ga qo'ysak
¹ j p( x)dx
z” + e ²
i -¹ J p(x)dx i , -¹ J P(x)dx C i A -¹ J p(x)dx -¹ J p(x)dx
1 p’(x)e 2' +1 p²(x)e ²' + p(x{-1 p(x)\e ² + q(x)e 2^J


z " +1 (x) z = 0
^z" + ⁽q^{( x) -1} p'^{(x) -1} p^{2 (x))z} i = q^{( x) -1} p'^{(x) -1} p^{2( x)}
Bunga (12) tenglamaning invarianti deyiladi.
c
Agar invariant o'zgarmas songa yoki I = ko'rinishga ega bo'lsa u holda ikkinchi
(x + a)¹
tartibli chiziqli differensial tenglamani xamma vaqt integrallash mumkin. Chunki bu xolda (12) tenglama yo koeffisiyentlari o'zgarmas tenglamaga yoki Eyler tenglamasiga keltiriladi.









y"

q(x) = 1;

I=2

p^{( x)} = - x
I" 7> 1111
’ Л,2 = '⁷

1 4=1
_x² _x²
z = qcos x + C2sin x

-¹J ² dx
u=e ^{2 x}

= e~^{ln x} = ¹
x

y = uz = ¹(c₁cosx + c₂sin x)
_x 1 2
Misol-3 xy" + 2 y' + xy = 0

Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamani tebranmas va tebranuvchi
yechimlari. Taqqoslash teoremasi
Koeffisiyentlari o'zgarmas bo'lgan, ikkita ikkinchi tartibli y"- a² y = 0 (1)
y" + a²y = 0 (2)
differensial tenglamalar berilgan bo'lsin.
Bunda a = cos t
Ma'lumki (1) tenglamaning xususiy yechimlari y₁ = e^-ax, y₂ = e^ax dan iborat bo'lib
Uning umumiy yechimi y = C1e^ax + C2e^ax dan iborat.
Uning nolini topamiz

-ax . ax _n
су + C2e = 0
a > 0 c— < 0

2ax
Cl + C2e = 0


g2ax _ ^c1
^c2


2ax = ln - —^1
c2


^{1 c}1
x = — ln —¹ 2a


^—1


^—2


(-, ) da bittadan ortiq nolga ega emas.


ya'ni (1) tenglamaning yechimi
(1) tenglamaning umumiy yechimi y = qcosax + —2 sin ax = Asin(ax + p) ning nolini topamiz:
A sin(ax + p) = 0 axk + p = nk
nk p n(k +1) nk n
^xk = ^xk+1 ^{- x}k = = -
a a a a a
ya'ni (2) tenglama (-<», ) oraliqdacheksizko'pnollargaegabo'lib,
n
ketikkitanolorasidagamasofa — gateng.
a


ketma-


n
Uzunligi dankattabo'lganxarbiroraliqda (2) tenglamaningixtiyoriyyechimmmgbittanoliyetadi, a
2n
uzunligi — dankattabo'lganixtiyoriyintervaldaesa 2 tanoliyotadi.
a