Мавзу: Иккинчи тартибли чизиқли дифференциал тенгламалар

Иккинчи тартибли ўзгармас коэффициентли чизиқли бир жинсли дифференциал тенгламалар
Фан ва техника ҳамда иқтисоднинг кўп масалалари (1) тенгламада ва функциялар ўзгармас сонлар бўлган ҳолдаги тенгламаларга келтирилади. Шунинг учун бу функциялар ўзгармас коэффициентлар бўлган ҳолни алоҳида қараймиз. Бу ҳолда бир жинсли тенглама
(3)
кўринишда бўлиб лар ўзгармас коэффициентлар. Бундай кўринишдаги тенгламага иккинчи тартибли ўзгармас коэффициентли чизиқли бир жинсли дифференциал тенглама дейилади. (3) кўринишдаги тенгламанинг ечимини топиш билан қизиқамиз.
ва функциялар (3) тенгламанинг оралиқда чизиқли боғланмаган ечимлари бўлса,
(4)
функция унинг умумий ечими бўлади, бу ерда ва ихтиёрий ўзгармаслар. Бу функцияни (3) тенгламага бевосита қўйиб кўрсатиш мумкин (буни бажариб кўринг).
1-мисол. дифференциал тенгламанинг умумий ечимини топинг.
Ечиш. Бевосита қўйиш билан текшириб кўриш мумкинки, ва берилган тенгламанинг ечимлари бўлади. Бу ечимлар чизиқли боғланмаган ечимлар бўлади, чунки Вронский детерминанти

Демак, формулага асосан, функция берилган дифференциал тенгламанинг умумий ечими бўлади.
Шундай қилиб, бир жинсли тенгламанинг умумий ечимини топиш учун, унинг иккита чизиқли боғланмаган хусусий ечимини топиш кифоя.
(3) тенгламанинг ечимини кўринишда излаймиз, бу ерда номаълум сон. бўлиб, (3) тенгламадан
ёки (5)
бўлади. (5) тенглик бажарилса функция (3) тенгламанинг ечими бўлади.
(5) тенгламага (3) дифференциал тенгламанинг характеристик тенгламаси дейилади. Характеристик тенгламанинг ечимлари

бўлиб, бунда қуйидаги учта ҳол бўлиши мумкин:
1) ва лар ҳақиқий ва ҳар хил, яъни
2) ва ҳақиқий ва тенг (каррали), яъни
3) ва комплекс сонлар, яъни бунда;
.
Ҳар бир ҳолни алоҳида қараймиз:
1) бу ҳолда функциялар чизиқли боғланмаган хусусий ечимлар бўлиб, умумий ечим
(6)
бўлади.
2-мисол. дифференциал тенгламанинг умумий ечимини топинг.
Ечиш. Берилган тенгламага мос характеристик тенгламани тузамиз:

Характеристик тенгламанинг илдизлари

бўлиб, умумий ечим (6) формулага асосан

бўлади.
2) Иккинчи ҳолда, характеристик тенгламанинг илдизлари тенг
ва битта хусусий ечим бўлади. Иккинчи хусусий ечимни кўринишда танлаймиз. Бу функция ҳам (3) тенгламанинг ечими бўлади, ҳақиқатан ҳам

ифодаларни (3) тенгламага қўйиб

тенгликни ҳосил қиламиз. характеристик тенгламанинг илдизи бўлганлиги учун охирги тенгликдаги биринчи қавс айнан нолга тенг, бўлганлиги учун иккинчи қавс ҳам айнан нолга тенг.
Демак, функция ҳам (3) тенгламанинг ечими бўлади, ҳамда ва ечимлар чизиқли боғланмаган (текшириб кўринг). Шундай қилиб,
(7)
умумий ечим бўлади.
3-мисол. дифференциал тенгламанинг умумий ечимини топинг.
Ечиш. Берилган тенгламанинг характеристик тенгламаси

бўлиб, илдизлари бўлади (тенгламани ечиб кўрсатинг). Характеристик тенгламанинг илдизлари ўзаро тенг, (7) формулага асосан функция берилган тенгламанинг умумий ечими бўлади.
3) Характеристик тенгламанинг илдизлари комплекс, қўшма: бўлганда хусусий ечимларни
,
кўринишда олиш мумкин. Бу ифодаларга