Mavzu: ikki kаrrаli intеgrаlning tatbiqlаri. Ikki kаrrаli intеgrаl yordamida yuza va jism hajmini hisoblash. Massa, Oʻrta qiymat va inersiya momenti

6-misol. zichlikka ega boʻlgan, egri chiziqlar bilan chegaralangan va I chorakda joylashgan yassi jismning koordinata oʻqlariga nisbatan inersiya momentlarini toping.
Yechish. Berilgan D yassi jism 5-shaklda tasvirlangan.

5-shakl

(25.8) formulalarga koʻra quyidagiga egamiz:

Bu integrallarni qutb koordinatalariga oʻtib hisoblash qulay:

egri chiziqning qutb koordinatalaridagi tenglamasi:
,


egri chiziqning qutb koordinatalaridagi tenglamasi:

U holda burchak dan gacha oʻzgaradi. kesmadan olingan ning har bir qiymatida oʻzgaruvchi dan gacha oʻzgaradi.

Ketma-ket (25.8) formuladan foydalanib, quyidagiga ega boʻlamiz:

Oʻxshash holda quyidagini topamiz:
7-misol. chiziqlar bilan chegaralangan sohaning koordinata boshiga nisbatan inersiya momentini hisoblang.


Yechish. Koordinata boshiga nisbatan inesiya momenti quyidagi formula bilan hisoblanadi: