Mavzu: ikki kаrrаli intеgrаlning tatbiqlаri. Ikki kаrrаli intеgrаl yordamida yuza va jism hajmini hisoblash. Massa, Oʻrta qiymat va inersiya momenti

3-misol. konusning silindr ichidagi qismi yuzini
hisoblang.


Yechish. Berilgan konus sirti qismining proyeksiyasi soha silindr asosi boʻlib, aylana cizig`i bilan chegaralangan sohadir(3-shakl).

Yuqoridagi (25.4) formulani funksiya uchun qoʻllaymiz:

u holda izlangan yuza:
3-shakl

Agar D soha modda taqsimotining sirt zichligiga ega, xOy tekislikda yotuvchi qalinligi bir boʻlgan yassi jism boʻlsa, u holda yassijismninig massasini quyidagi formula bilan hisoblanadi:

(25.5)

Yassi jismning Ox va Oyoʻqlariga nisbatan statik momentlari quyidagi formulalar boʻyicha topiladi:

. (25.6)

Yassi jismning ogʻirlik markazi koordinatalari:

(25.7)


D yassi jismning koordinata oʻqlariga va koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari:


(25.8)

formulalar bilan hisoblanadi.

4-misol. chiziqlar bilan chegaralangan sohaning oʻgirlik markazini toping(4-shakl).



4-shakl

Yechish. Berilgan soha Oxoʻqiga simmetrik boʻlganligi sababli , boladi. ni topamiz. Berilgan soha yuzini hisoblaymiz

U holda, (25.7) formuladan foydalanamiz

5-misol. Sirt zichligi boʻlgan, Ox oʻqi , parabola va toʻg‘ri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli uchburchakdan iborat D yassi jism massasini hisoblang.


Yechich. Yassi jism massasini hisoblash uchun dastlab D sohani aniqlaymiz:

(25.5) formulaga koʻra,