Mavzu: ikki kаrrаli intеgrаlning tatbiqlаri. Ikki kаrrаli intеgrаl yordamida yuza va jism hajmini hisoblash. Massa, Oʻrta qiymat va inersiya momenti

Mavzu: IKKI KАRRАLI INTЕGRАLNING TATBIQLАRI. IKKI KАRRАLI INTЕGRАL YORDAMIDA YUZA VA JISM HAJMINI HISOBLASH. MASSA, OʻRTA QIYMAT VA INERSIYA MOMENTI. Rеja: 1.Ikki karrali intеgrаlning geometrik tatbiqlari: 2.Tekis shakl yuziniva jism hajmini hisoblash; 3.Sirt yuzini hisoblash. 4.Ikki karrali intеgrаlning fizik tatbiqlari: 5.Massa vaogʻirlik markazini hisoblash; 6.Statik moment va inersiya momentini hisoblash. Ikki karrali integralning geometrik tatbiqlari. a) Agar D sohada boʻlsa, u holda ikki karrali integral son jihatidan asosi D boʻlgan yasovchilari Ozoʻqiga parallel boʻlgan, yuqoridan sirt bilan chegeralangan Q silindrik jismning hajmiga teng (1- shakl).

(25.1)

1-shakl
1-misol. sirtlar bilan chegaralangan jismning hajmini hisoblang.

Yechish. Berilgan jismni quyidagi koʻrinishda tasvirlash kerak:


bunda ― soha Oxy tekislikning va egri chiziqlari bilan chegaralangan qismi, ya’ni

Ikki karrali integralning geometrik ma’nosiga koʻra, jismning hajmi quyidagicha topiladi:

Xususan, boʻlganda, ikki karrali integral Dsohaning yuziga teng, ya’ni

(25.2)

Agar D sohani aniqlaydiganfunksiyalar qutb koordinatalar sistemasida berilgan boʻlsa, D sohaning yuzi


(25.3)

formula bilan hisoblanadi.

2-misol. aylanalar bilan chegaralangansohayuzini toping( aylanadan tashqaridagi qismi, 2-shakl).



2-shakl


_Yechish. Anuqtaning koordinatasinitopamiz:

Demak, . U holda

b) Agar silliq sirt qismining xOy tekislikdagi proyeksiyasi boʻlsa, u holda bu sirt yuzini quyidagi formula bilan hisoblanadi:

(25.4)