Mavzu: Hisoblash geometriyasi

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi Toshkent axborot texnologiyalari universiteti

Kompyuter injiniringi fakulteti


Mustaqil ish

Mavzu: Hisoblash geometriyasi

Topshirdi:_Dilshodbek Ismoilov
Qabul qildi:_Begimov Oybek.


Toshkent - 2021
,
REJA:

1. 
   Kirish:
   
   1. 
      Hisoblash geometriyasiga ta`rif va u qanday sohalarda ishlatiladi.
      
2. 
   Asosiy qismi:
   
   1. 
      Hisoblash geometriyasi nima?
      
3. 
   Xulosa
   

Hisoblash geometriyasi - geometrik masalalarni echish algoritmlari bilan shug'ullanadigan informatika fanining bir bo'limi.Bu uchburchak, qavariq korpus qurish, bitta ob'ektning boshqasiga tegishliligini aniqlash, ularning kesishishini topish va boshqalar kabi vazifalar bilan shug'ullanadi: geometrik jismlar bilan ishlang: nuqta, segment, ko'pburchak, aylana vahokazolar.Hisoblash geometriyasi naqshlarni aniqlashda, kompyuter grafikalarida, muhandislik dizaynida va boshqalarda qo'llaniladi. Bunday vazifalar kompyuter grafigida, integral mikrosxemalar, texnik qurilmalar va boshqa dastlabki ma'lumotlar bilan bog'liq bo'lib, bunday vazifalarda ko'plab nuqtalar, segmentlar, poligonlar va boshqalar bo'lishi mumkin.natija ba'zi bir savolga yoki ba'zi geometrik ob'ektga javob bo'lishi mumkin". Buni ikki qismga ajratishga qaror qildim: birinchi qism ko'pburchaklarga, ikkinchisi - turli geometrik narsalarning nisbiy holatiga bag'ishlangan.Uning qaysi uchi boshlanishi va qaysi uchi vektor deb nomlanganligini ko'rsatadigan segment. Har qanday kosmik nuqta ham vektor sifatida qaralishi mumkin. Bunday vektor nol deb ataladi. Nol vektorning boshlanishi va oxiri bir xil va u aniq yo'nalishga ega emas.

Nol bo'lmagan AB vektorining uzunligi AB segmentining uzunligi deb ataladi. Nolinchi vektorning uzunligi nolga teng.
Ikkita nol bo'lmagan vektorlar, agar ular bir tekis chiziqda yoki parallel chiziqlarda yotsa, kollineer deb ataladi. Ikki nol bo'lmagan vektorli AB va CD kollinearny va AB va CD nurlari bir vaqtning o'zida yo'naltirilgan bo'lsa, vektor AB va CD mos yozuvlar deb ataladi, va bu nurlari bir xil yo'nalish emas, agar, vektor AB va CD qarama-qarshi yo'nalishda deyiladi. Nolinchi vektor har qanday vektor bilan birlashtirilgan deb hisoblanadi.
Vektorlarning skalar mahsuloti
Vektorlarning skalar mahsuloti-bu vektorlarning uzunligi mahsulotiga teng bo'lgan raqam ular orasidagi burchakning kosinusiga.
(a, b) = |a||b|cos∠(a, b)

Vektorlar a(x1, y1), b(x2, y2) koordinatalari bilan berilgan bo'lsa, u holda skalar mahsuloti (a, b) = x1x2 + y1y2.
Vektorlarning ishi
Samolyotda vektorlarning psevdoskalar yoki oblik mahsuloti raqam deb ataladi
[a, b] = |a||b|sinθ
agar a va b vektorlaridan kamida bittasi nol bo'lsa, ular [a, b] = 0 deb hisoblashadi.
Agar vektorlar koordinatalari bilan berilgan bo'lsa a(x1, y1), b(x2, y2) keyin kosoe mahsuloti [a, b] = x1y2 — x2y1.
Geometrik jihatdan, vektorlarning mahsuloti bu vektorlarga cho'zilgan parallelogramning yo'naltirilgan maydonidir.

Hisoblash geometriyasining vazifalarida vektorlarning ishi kombinatorikada qayta ishlash kabi sharafli o'rinni egallaydi. Bu hisoblash geometriyasining marvarididir. Hisoblash geometriyasining deyarli har bir vazifasi oldingi yechim o'rniga kos mahsuloti yordamida oddiy echimga ega.
Va endi amaliyot qilaylik
Uchburchaklar bilan boshlaylik

Vazifa juda oddiy, ya'ni a, b, c ning uchta raqamiga ko'ra, bunday tomonlar bilan uchburchak mavjudligini aniqlash.

Qaror
Bu erda faqat uchburchakning tengsizligini tekshirish kerak: a + b > c, a + C> b, b + C > a. qizig'i shundaki, uchburchakning tengsizligini o'rganishda menda savol bor edi: salbiy raqamlar ham bu uch tengsizlikka javob bera oladimi? Yo'q, chiqadi! Agar har bir tengsizlikni qo'shsak, biz a > 0, b > 0, c > 0 ni olamiz. Shuning uchun uchburchakning tengsizligi uchburchakning mavjudligi uchun zarur va etarli shartdir

Vazifa raqami 2
Vazifa uchburchakning tomonlar tomonidan emas, balki vertikalarning koordinatalari bilan belgilanadigan farq bilan oldingi holatga juda o'xshaydi.
Bir qarashda, yechim aniq ko'rinadi: uchburchakning tomonlarini hisoblash va muammoni oldingi holatga tushirish. Biroq, ikki nuqta a(x1, y1), B(x2, y2) orasidagi masofa formulalar bo'yicha hisoblab chiqiladi √(x1-x2)2+(y1-y2)2 keyin ildizni chiqarib tashlashda aniqlik yo'qolishi mumkin, bu uchburchakning tengsizligini tekshirishga yomon ta'sir qiladi. Agar uchburchak ustunlarining koordinatalari bilan berilgan bo'lsa, uning tomonlarining uzunligini hisoblash va uchburchakning tengsizligini tekshirish talab qilinmaydi. Bunday holda, uchburchak mavjud emas va faqat bu uch nuqta bir tekis chiziqda yotganda. Va bu vektorlarning ishi orqali osongina tekshiriladi. Agar u nolga teng bo'lsa, vektorlar kollinerdir, ya'ni uchta nuqta bir tekis chiziqda yotadi

Quyidagi barcha vazifalarda biz uchburchak mavjudligini ko'rib chiqamiz, chunki biz uchburchakning mavjudligini tekshirish tartibini ko'rib chiqdik.
Vazifa raqami 3
Uchburchak o'z tomonlari bilan berilgan. Uchburchakning turini aniqlang: burchak, to'rtburchaklar yoki o'tkir burchak.
Keling, uchburchakning har bir turi nimani anglatishini eslaylik.

Geometriya kursidan ma'lumki, katta tomonning qarshisida katta burchak bor (biz bunga muhtojmiz). Shuning uchun, agar biz katta burchakka teng bo'lgan narsani aniqlasak, uchburchak turini tushunamiz:
90° dan katta burchak – uchburchak burchak
Burchak 90° dan kam - uchburchak o'tkir
Burchak 90° - uchburchak to'rtburchak
Kosin teoremasidan foydalanamiz:
Shubhasiz, agar burchakka kosinasi noldan katta bo'lsa, burchak 90° dan kam bo'lsa, burchak 90 ° ga teng bo'lsa, burchak noldan kam bo'lsa, burchak 90°dan katta. Biroq, burchakning kosinasini hisoblash kerak emasligini biroz tushunish mumkin, faqat uning belgisini hisobga olish kerak:
Agar cosa > 0 bo'lsa, unda a2 < b2 + c2-uchburchak o'tkir
Agar cosa = 0 bo'lsa, unda a2 = b2 + c2-uchburchak to'rtburchak
Agar cosa < 0 bo'lsa, u holda a2 > b2 + c2 uchburchak burchakli
bu erda a katta tomon.
Vazifa raqami 4
Vazifa oldingi vazifaga o'xshaydi, faqat uchburchak o'z tomonlari bilan emas, balki vertikalarning koordinatalari bilan belgilanadi.
Xuddi shunday, vazifa 2 biz bu vazifa butunlay oldingi vazifaga (shuning uchun) tushib, deb aytish mumkin. Biroq, ikkinchi vazifada bo'lgani kabi, qarorni soddalashtirish mumkin. Umuman olganda, agar uchburchak ustunlarining koordinatalari bilan berilgan bo'lsa, tomonlarni hisoblashdan ko'ra, vektor orqali u bilan ishlash har doim ham oson. Avvalgi vazifaga o'xshab, uchburchakning burchaklarining eng katta qismini aniqlash kerak. Burchak turi osongina vektorlarni hosil qiluvchi skalar mahsuloti belgisi bilan aniqlanadi: o'tkir burchak uchun ijobiy, o'ng burchak uchun nolga teng va burchak burchagi uchun salbiy. Shuning uchun, uchta skaler ishni hisoblash va ularni ko'paytirish kerak va bu raqamning belgisi bilan uchburchakning turini aniqlash mumkin.

Vazifa raqami 5

Uchburchakning bu tomonlariga ko'ra, uning maydonini toping.

Qaror
Shubhasiz, yechim Geron formulasini qo'llashdir.

Aytgancha, bu formulaning isboti hech kimga qiziqmadi?
Vazifa raqami 6
Vertikalarning koordinatalari bilan berilgan uchburchakning maydonini hisoblang.
Biz avvalgi vazifaga tushadigan yechim haqida gapirmaymiz, lekin kosning geometrik ma'nosidan foydalanishga harakat qilamiz. Geometrik jihatdan, ikki vektorning mahsuloti ushbu vektorlarga cho'zilgan parallelogramning yo'naltirilgan maydonini aniqlaydi. Parallelogramning diagonali uni ikki teng uchburchakka aylantirganligi sababli, parallelogramm maydonining yarmi kabi uchburchakning maydonini topishimiz mumkin.
Vektorlar uchun a (x1, y1), b (x2, y2)

S = (x1y2 — x2y1) / uchburchakning 2 yo'naltirilgan maydoni
Vazifa raqami 7
Nuqta va uchburchak ularning vertikallarining koordinatalari bilan berilgan. Nuqta bu uchburchakning chegarasida yoki tashqarisida joylashganligini aniqlang.
Qaror
Ushbu vazifada ikkita asosiy echim bor. Eng jozibali bilan boshlaylik.
Maydonlar usuli

Agar uchburchakning AKB, AKC, BKC (yo'naltirilgan emas, balki "oddiy") uchburchaklari yig'indisi ABC uchburchagi maydonidan kattaroq bo'lsa, nuqta uchburchakdan tashqarida yotadi. Agar dastlabki uchta maydonning summasi to'rtinchisiga teng bo'lsa, unda uchta maydondan biri nolga teng emasligini tekshirishingiz kerak. Agar u teng bo'lsa, nuqta uchburchakning chegarasida, aks holda-ichkarida.
Uchburchaklarning maydonini hisoblash uchun, albatta, vektorlarning ishlashi kerak. Bu usul juda yaxshi emas. Bu erda suzuvchi nuqta bilan raqamlarni taqqoslash qo'llanilganligi sababli, bu esa, o'z navbatida, taqqoslashda noto'g'ri qaror qabul qilishga olib kelishi mumkin. Ikkinchi usul yana vektorga tayanadi, u har jihatdan ancha samarali.
Yarim ishlab chiqarishni tekshirish
Agar uchburchakning kamida bir tomoni qarama-qarshi vertikani va nuqtani turli yarim yulduzlarga" suyultirsa", unda nuqta uchburchakning tashqarisida yotadi. Aks holda, agar nuqta uchburchakning qirralarini o'z ichiga olgan tekis chiziqlardan kamida biriga tegishli bo'lsa, u uchburchak chegarasida joylashgan. Aks holda, nuqta uchburchak ichida yotadi.

 Birinchi misolda AB tomoni C uchini va K nuqtani har xil yarim tekisliklarga ajratadi, shuning uchun nuqta tashqarida joylashgan.

8-topshiriq

Uning uchlari koordinatalari bo'yicha berilgan ko'pburchakning maydonini hisoblash.
Qaror
Ko'pburchak deganda biz oddiy ko'pburchakni, ya'ni o'z-o'zidan kesishmasdan qilamiz. Bundan tashqari, u konveks yoki konveks bo'lishi mumkin.
Ushbu muammoni ikki yo'l bilan hal qilish mumkin: trapezoidlar va uchburchaklarning yo'naltirilgan maydonini hisoblash orqali.


Ko'pburchakning maydonini hisoblash uchun, rasmda ko'rsatilgandek, uni trapezoidlarga bo'lish kerak va keyin paydo bo'lgan trapezoidlarning yo'naltirilgan maydonlarini qo'shish kerak, bu asl ko'pburchakning yo'naltirilgan maydoni bo'ladi.
S \u003d SA 1 A 2 B 2 B 1 + SA 2 A 3 B 3 B 2 + SA 3 A 4 B 5 B 3 + SA 4 A 5 B 6 B 5 + SA 5 A 6 B 4 B 6 + SA 6 A 1 B 1 B 4
Biz taniqli formulaga binoan trapeziumning maydonini ko'rib chiqamiz: balandlik darajasiga asoslarning yig'indisining yarmi
S A 1 A 2 B 2 B 1 \u003d 0,5 * (A 1 B 1 + A 2 B 2) * (B 2 - B 1)
Olingan maydon yo'naltirilganligi sababli uning modulini hisoblash kerak.

Uchburchaklar usuli

Oldingi usul singari, rasmda ko'rsatilgandek, ko'pburchakni trapezoidga emas, balki uchburchaklarga bo'lish mumkin. Natijada, bu uchburchaklar yo'naltirilgan maydonlarini qo'shib, biz yana ko'pburchakning yo'naltirilgan maydonini olamiz.
S \u003d S O A 1 A 2 + S O A 2 A 3 + S O A 3 A 4 + S O A 4 A 5 + S O A 5 A 6 + S O A 6 A 1
Ko'rib turganingizdek, ko'pburchakning maydonini hisoblash vazifasi juda oddiy. Buning sababini bilmayman, lekin men bu muammoni trapezoidga bo'lish orqali hal qilishni afzal ko'raman (ehtimol, men buni barcha olimpiadalarda shu tarzda hal qilganim uchun). Bundan tashqari, ikkinchi echimda, uchburchaklarning maydoni obli mahsulot orqali hisoblanishi kerak. Heronning formulasini unutish kerak !!!
Ko'pburchak uning uchlari koordinatalari bo'yicha uning aylanish tartibida berilgan. Ko'pburchakning konveks yoki yo'qligini tekshirish kerak.
Qaror
Sizga shuni eslatib o'tamanki, agar ko'pburchak, uning yon tomonini o'z ichiga olgan har qanday chiziq bo'yicha yarim tekislikda yotsa, u konveks deb ataladi.



Muammo yana vektorlarning eskirgan mahsulotini hisoblashda yuzaga keladi, ya'ni konveksli ko'pburchak uchun egri mahsulotlarning belgilari ijobiy yoki salbiydir. Shuning uchun, agar biz dumaloq yo'nalishni bilsak, unda konveks ko'pburchak uchun skew mahsulotlarining belgisi bir xil: u soat yo'nalishi bo'yicha aylantirilganda salbiy emas va soat yo'nalishi bo'yicha aylanayotganda ijobiy emas.

Vazifa 10

Samolyotda ko'pburchak (shart emas konveks) uning uchlarining koordinatalari tomonidan berilgan. Uning ichida (lekin uning chegarasida emas) butun sonli koordinatalar bilan nuqtalar sonini hisoblash talab qilinadi.
Qaror
Ushbu muammoni hal qilish uchun biz yordamchi muammoni ko'rib chiqamiz: segment butun sonlar bo'lgan uchlarining koordinatalari bilan berilgan. Segment ustida yotgan butun sonlarni hisoblash kerak. Agar segment vertikal yoki gorizontal bo'lsa, u holda uchlarning koordinatalarini ajratib, boshqasini qo'shish kerakligi aniq. Segment vertikal yoki gorizontal bo'lmagan holatlar qiziqish uyg'otadi. Bu holda segmentni to'g'ri burchakli uchburchakka to'ldirish kerak bo'ladi va javob bu uchburchakning oyoqlari uzunliklarining eng katta umumiy bo'linuvchisiga teng bo'lgan son bo'ladi.



Chetliklarning butun son koordinatalari bo'lgan har qanday ko'pburchak uchun Peak formulasi haqiqiydir: S \u003d n + m / 2 - 1, bu erda S ko'pburchakning maydoni, n - ko'pburchak ichida yotgan butun sonlar soni, m - ko'pburchakning chegarasida joylashgan butun sonlarning soni. Ko'pburchakning maydonini qanday hisoblashni bilganimiz uchun S ma'lum. Poligon chegarasida yotgan butun sonlarni ham hisoblashimiz mumkin, shuning uchun Peak formulasida biz bilmagan faqat bitta noma'lum bor.
Bir misolni ko'rib chiqing:

S \u003d 16 + 4 + 4.5 + 6 + 1 + 2 \u003d 33.5
m \u003d 15
n \u003d 33.5 - 7.5 +1 \u003d 27 - ballar ko'pburchak ichida joylashgan
Shunday qilib, bu muammo hal qilindi!
Peak formulasi
Biz Peak formulasini tadqiqotimizning haqiqiy olmosi deb hisoblaymiz!
Süjet oddiy katakchali qog'ozda ochiladi .
Hujayralarning yon tomonlari bo'ylab harakatlanadigan chiziqlar panjara hosil qiladi va hujayralarning uchlari bu panjara tugunlarini hosil qiladi. Biz varaqdagi tugunlarga uchlari bilan ko'pburchak chizamiz (1-rasm) va uning maydonini topamiz. Siz uni turli yo'llar bilan qidirishingiz mumkin. Masalan, ko'pburchakni juda oddiy shakllarga kesib, ularning maydonini topib, qo'shishingiz mumkin. Ammo bu erda biz juda ko'p muammolarni kutmoqdamiz (sinab ko'ring!). Aldaymiz:
biz o'zimizni "to'ldiradigan" qoplangan shaklning maydonini hisoblaymiz
ko'pburchakni ABCD to'rtburchagiga qo'ying va uni to'rtburchaklar doirasidan ajratib oling. Qopqoq shakl osongina to'rtburchaklar va to'rtburchaklar uchburchaklarga bo'linadi va uning maydoni harakat qilmasdan hisoblanadi.
Shunday qilib, ko'pburchak etarlicha sodda ko'rinishga ega bo'lsa-da, uning maydonini hisoblash uchun ko'p harakat qilish kerak edi. Va agar ko'pburchak yanada g'alati ko'rinadigan bo'lsa?
Aniqlanishicha, uchlari uchlari panjara tugunlarida joylashganligi osonroq hisoblanishi mumkin: ularning maydonini ko'pburchak ichkarisida va chegarasida joylashgan tugunlar soniga bog'liq bo'lgan formula mavjud. Ushbu ajoyib va \u200b\u200boddiy formula Peak formulasi deb nomlanadi.
Shakl 2 ABCD to'rtburchaklar bo'lsin, tugunlari va qirralari panjara chiziqlari bo'ylab boring (2-rasm).
Biz to'rtburchaklar ichida joylashgan tugunlarning sonini B chegarasida va bound uning chegarasidagi tugunlar sonini belgilaymiz. Panjara yarim katakni o'ngga va yarim hujayrani pastga tushiring. Keyin to'rtburchaklar hududini tugunlar orasida "taqsimlash" mumkin: har bir B tugunlari ko'chirilgan panjara butun hujayrasini "boshqaradi" va G tugunlarining har biri - 4 chegara bo'lmagan burchakli tugunlar - hujayraning yarmi va burchak burchaklar har biri - hujayraning chorak qismi. Shuning uchun S to'rtburchagi maydoni
S \u003d B + + 4 · \u003d B + - 1.
Shunday qilib, panjara chiziqlarini kuzatib boradigan tugun va qirralarning uchlari bo'lgan to'rtburchaklar uchun S \u003d B + - 1 formulasini o'rnatdik. .
Ma'lum bo'lishicha, ushbu formula nafaqat to'rtburchaklar uchun, balki panjara tugunlarida uchlari bo'lgan o'zboshimchalik bilan ko'pburchaklarga ham tegishli!
Bu Peak formulasi.
1-topshiriq. 1-rasmda ko'pburchak uchun Peak formulasini tekshiring.
Qaror .
B \u003d 14, G \u003d 8. Peak formulasi bo'yicha: S \u003d B + - 1 .
S \u003d 14 + 8/2 - 1 \u003d 17
Javob: 17 kv. birliklar
Peak formulasi ko'rib chiqilgan barcha misollar uchun to'g'ri ekanligini tekshirish mumkin.
Ko'rinib turibdiki, agar ko'pburchakni panjara tugunlarida uchlari bilan uchburchak shaklida kesish mumkin bo'lsa.
Shakl 3, keyin Peak formulasi unga to'g'ri keladi.
Peak formulasidan foydalanib, ko'pburchaklarning maydonini hisoblashga harakat qiling. Haqiqat shundaki, buni qilish juda oson!
Keling, o'lchamlari 1 sm 1 sm bo'lgan katakchali qog'ozga yana bir nechta vazifalarni ko'rib chiqaylik.
2-topshiriq ABCD to'rtburchagining maydonini toping
Qaror.Peak formulasi bo'yicha: S \u003d B + - 1 .
Shakl 4 S \u003d 8 + 6/2 - 1 \u003d 10 (sm²)
Javob: 10 sm².
3-topshiriq.ABCD parallelogrammaning maydonini toping
Qaror. Peak formulasi bo'yicha: S \u003d B + - 1 .
S \u003d 6 + 6/2 - 1 \u003d 8 (sm²)
Shakl 5 Javob: 8 sm².
4-topshiriq. ABC uchburchagining maydonini toping
Qaror. Peak formulasi bo'yicha: S \u003d B + - 1 .
S \u003d 6 + 5/2 - 1 \u003d 7.5 (sm²)
Shakl 6 Javob: 7,5 sm².
5-topshiriq.ABCD to'rtburchagining maydonini toping (7-rasm).
Qaror.Peak formulasi bo'yicha: S \u003d B + - 1 .
S \u003d 5 + 7/2 - 1 \u003d 7.5 (sm²)
Shakl 7 Javob: 7,5 sm².
Qabul qiling, ko'rib chiqilgan vazifalar matematikadan imtihon uchun nazorat va o'lchash materiallari variantlaridan B6 topshirig'iga o'xshash. Masalan:
6-topshiriq
Uchburchak katakli qog'ozda 1 sm 1 sm o'lchamdagi katakchalar bilan ko'rsatilgan va uning maydonini kvadrat santimetrda toping.