Mavzu: gruppalar, qism gruppalar va ularning hossalari

Z=  Z; +  da а ga teskari element (- a) hamda neytral element 0 bo‘ladi.
Z =  Z; +  ga butun sonlarning additiv gruppasi deyiladi.
Endi Z ni ko‘paytirishga nisbatan qarasak, Z =  Z; +  monoid bo‘ladi, chunki a 0 ga (teskari) simmetrik element a^-1=1/aZ.
3. Бarcha ratsional sonlar to‘plami Q qo‘shishga nisbatan additiv Abel gruppasi Q= Q; +  bo’ladi. Agarda Q₁=Q \{0} to’plamni qarasak, Q₁= Q₁;  ham multiplikativ gruppa bo‘ladi.
4. Haqiqiy sonldar to‘plamini qarasak, u holda R= R; + additiv Abel gruppasi; R₁= R₁;  esa multiplikativ Abel gruppasi bo‘ladi. Bu yerda R₁=R \{0}.
5. m0 moduli bo‘yicha chegirmalar sinflari { C₀,С_1, C_{2, ... ,} C_m-1}=Z / mZ to‘plamida qo‘shish amalini

Tenglik bilan aniqlasak, Z/mZ=  Z/ mZ; +  additiv Abel gruppasi bo‘ladi. Bunda neytral element C₀ ; C_i elementga qarama karshi element C_m-i sinf bo‘ladi, chunki C_i +C_m-i = C_m = C₀ .
6. m=6 modul bo‘yicha chegirmalar sinflari to‘plami Z/6Z={ C₀ ,С₁, C₂, C₃,С₄, C_5, } dan iborat bo‘ladi.

+	С0	С1	С2	С3	С4	С5
С0	С0	С1	С2	С3	С4	С5
С1	С1	С2	С3	С4	С5	С0
С2	С2	С3	С4	С5	С0	С1
С3	С3	С4	С5	С0	С1	С2
С4	С4	С5	С6	С1	С2	С3
С5	С5	С0	С1	С2	С3	С4

Bu jadvaldan foydalanib gruppa ta’rifidagi 1), 2), 3), 4), shartlarning bajarilishini osonlik bilan tekshirish mumkin.
Z/6Z=  Z/ 6Z; +  - additiv Abel gruppasi.
7). Z/mZ to‘plamda ko‘paytirish amalini

tenglik bilan aniqlasak.  Z/ mZ;   - multiplikativ monoid bo‘ladi. Bunda neytral element С₁ bo‘ladi, assotsiativlik qonuni bajariladi, lekin ixtiyoriy С_i uchun C_i C_j = C₁ shartni qanoatlantiruvchi C_j element mavjud emas.
Masalan, m=6 da C₃ C₀ = C₀ , C₃ C₁ = C₃ , C₃ C₂ = C₀ , C₃C₃ = C₃ , C₃C₄ = C₀ , C₃ C₅ =C₃ ya’ni C₃ C_j = C₁ tenglikni qanoatlantiruvchi C_j sinf mavjud emas.
8). М={1,-1} to‘plamning arifmetik ko‘paytirish amaliga nisbatan multiplikativ gruppa bo‘lishligini isbotlang.
9). a+b3 ko‘rinishdagi sonlar to‘plamini a,b R bo‘lganda ko‘paytirish va qo‘shish amallariga nisbatan gruppa bo‘lish yoki bo‘lmasligini tekshiring.
GRUPPANING XOSSALARI
1. Ixtiyoriy gruppada neytral element bir qiymatli aniqlanadi va gruppaning istalgan elementi uchun yagona teskari (simmetrik )element mavjud bo‘ladi. Biz bu xossani ilgari umumiy holda isbotlagan edik.
2. Har qanday multiplikativ gruppada bo‘lish munosabati o‘rinli, ya’ni istalgan a va b elementlar uchun shunday elementlar topiladiki, tenglamalar yagona yechimga ega .
Isboti. ax=b tenglamani chap tomondan а^-1 ga ko‘paytirsak, а^-1(ax)= а^-1b yoki (а^-1 a)x= а^-1b  ex = а^-1b x= а^-1 b ga ega bo‘lamiz. x= а^-1b bilan birga c ham ax=b tenglamaning yechimi bo‘lsa, u holda c=e c=( а^-1 a)c= а^-1(ac); bu yerda ас =b bo‘lgani uchun c= а^-1b ya’ni с= x.
3. Istalgan grupaning elementlari regulyar elementlardir.
Haqiqatan ham a⊤ b= a⊤ c  b=c va b⊤a= c⊤a  b=c kelib chiqadi. Gruppaning elementlariga simmetrik а' element mavjud
l bo‘lgani uchun а'⊤ (a⊤ b)= а'⊤ (а⊤ c)  (а'⊤a) ⊤b=( а' ⊤ a) ⊤c  e⊤ b=e⊤c b=c . Keyingi tenglik ham shuning singari isbotlanadi.
4. G,⊤ - gruppaning ixtiyoriy n ta elementi shu gruppada aniqlangan algebraik amal ⊤ga nisbatan assotsiativdir .
Isboti. Isbotni yozuvda soddalik uchun ko‘paytirish amaliga nisbatan olib boramiz.
1) n=1,2 da isbotning hojati yo‘q;
n=3 da esa gruppa ta’rifidagi 1)-shartda berilgan.
Faraz etaylik, n=k da teorema o‘rinli bo‘lsin, ya’ni n ta ko‘paytuvchining ko‘paytmasi qavslarni qo‘yish tartibiga bog‘liq bo‘lmasin. U holda a₁ a₂ ...a_к = deb yoza olamiz. Bu tenglikning ikkala tomonini a_к+1 ga ko‘paytirsak,
(a₁ a₂ ...a_к )  a_к+1 = ( )  a_к+1 = · a_k+1.
Endi va lardagi ko‘paytuvchilar soni k dan kichik shuning uchun bu ko‘paytuvchilar uchun xossa o‘rinli.
Endi , , a_k+1 hadlar uchun (ularni 3ta element deb) assotsiativlik qonunini qo‘llasak  a_k+1 ifodaga va demak (a₁ a₂ ...a_к )  a_к+1 ifodada ham uning qiymati qavslarni qo‘shish tartibiga bog‘liq emas degan xulosaga kelamiz.
5. a₁ ,a₂ , ...,a_к G elementlarining ko‘paytmasiga teskari bo‘lgan element a_k^-1a_k-1^-1 ...a₁^-1 bo‘ladi .(Tekshiring). a.a...a=aⁿ deb belgilaymiz, а⁰ =е .
6. Agar а G bo‘lsa , u holda aⁿ G, nN bo’ladi.
GRUPPALARNING GOMOMORFLIGI
Faraz etaylik, G =  G;   ^-1  va H =  H;   ^-1  - multiplikativ gruppalar berilgan bo‘lsin. Agar G ni H ga akslantiruvchi h akslantirish asosiy amallarni saqlasa , ya’ni
1) a,b G uchun h(аb)= h(a) h(b) ,
2)  a  G, h(a^-1) =(h(a)) ^-1
шартлар бажарилса, h ga gomomorf akslantirish, G va H gruppalarga esa gomomorf (o‘xshash) gruppalar deyiladi. Agar h:G  H gomomorf akslantirish bo‘lib G ni H ga (ustiga) o‘tkazsa h ga epimorf akslantirish deyiladi .
Agar h:G  H akslantirish o‘zaro bir qiymatli akslantirish bo‘lib, asosiy amallarni saqlasa bunday akslantirishga izomorf akslantirish deyiladi (xossalari bir xil). Bu holda G va H gruppalarga izomorf gruppalar deyiladi va G  H ko’rinishda yoziladi.
G ni G ga (ustiga) akslantiruvchi izomorf h akslantirishga avtomorfizm deyiladi. 1-teorema. Agar h:G  H akslantirish G dagi binary amal  ni saqlasa, ya’ni  a,bG, h(ab)=h(a) h(b) tenglik o’rinli bo’lsa, u holda h G gruppaning birlik е elementini H gruppaning birlik elementiga o’tqazadi va h:G  H gomomorf akslantirish bo’ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, е G ning bir elementi bo’lsin va u h akslantirishda е' H elementga o’tsin, ya’ni е' = h(е) H. е' ning H uchun birlik element ekanligini ko’rsatamiz . 1) ga asosan
h(ee)=h(e)  h(e) = е' е', ikkinchi tomondan е' =h(e)=h(e e). Demak, е' е' =е', ya’ni е' H birlik element. h ning gomomorf akslantirish ekanligini ko’rsatish uchun 2) shartni qanoatlantishni ko’rsatish yetarli.
Faraz qilaylik , a G bo’lsin. U holda G gruppa bo’lgani uchun
 a^-1G va a a^-1 = e G . (1) ga asosan bundan h(a a^-1) = h(a) h(a^-1)= h(e)= e' H . Demak,  a  G, h(a^-1) =(h(a)) ^-1 , ya’ni h(a) ga teskari element.
Gruppalar to‘plamidagi izomorflik munosabati ekvivalentlik munosabatidir (tekshirib ko‘ring ).
Misollar. 1. Q* - barcha noldan farqli ratsional sonlar to‘plami va Q*= Q* ;  , ^-1  esa ratsional sonlarning multiplikativ gruppasi bo‘lsin. Q⁺=Q⁺;  , ^-1  - musbat ratsional sonlarning multiplikativ gruppasi bo‘lsin. U holda h(a)=a, h:Q* Q⁺ ( ya’ni h:aa) gomomorf akslantirish bo‘ladi.
1-shart. h(a.b)=h(a).h(b), chunki ab=ab
2-shart. h(a^-1) =(h(a)) ^-1, a^-1=a^-1 lar absolyut qiymatning xossalariga asosan bajariladi.
2. R⁺= R⁺;  , ^-1  - musbat haqiqiy sonlarning multiplikativ gruppasi, R=R ; +, -  esa haqiqiy sonlarning additiv gruppasi bo‘lsin, u holda f(x)=log x funktsiyaning yordamidagi akslantirish f: R⁺ R izomorf akslantirish bo‘ladi, chunki log (x.y)=log x=log y, log x^-1 = - log x .
3. g (x) = 2^x funktsiya yordamida akslantirish (ya’ni f (x)=log₂ x funktsiyaga teskari funktsiya bilan) g:R R⁺ ham izomorf akslantirish bo‘ladi, chunki 2^x+y = 2^x · 2^y, 2^-x =(2^x )^-1 .


Mavzuni mustahkamlash uchun savollar
1). Gruppa deb nimaga aytiladi?
2). Chekli gruppaning tartibi deganda nimani tushunasiz?
3). Additiv va multiplikativ gruppaga ta’rif bering.
4). qism gruppa deganda nimani tushunasiz ?
5). Gruppaning normal bo‘luvchisi deb nimaga aytiladi?
6). Lagranj teoremasini ayting .
7). Faktor gruppaga ta’rif bering.
8). Gomomorf gruppalar deb qanday gruppalarga aytiladi?
9). Izomorf gruppalar deb qanday gruppalarga aytiladi?