Mavzu: gruppalar, qism gruppalar va ularning hossalari


Z=  Z; +  da а ga teskari element (- a) hamda neytral element 0 bo‘ladi. Z



Download 66,63 Kb.
bet2/2
Sana23.06.2022
Hajmi66,63 Kb.
#694527
1   2
Bog'liq
1-2-3-MAVZU[1]

Z=  Z; +  da а ga teskari element (- a) hamda neytral element 0 bo‘ladi.
Z =  Z; +  ga butun sonlarning additiv gruppasi deyiladi.
Endi Z ni ko‘paytirishga nisbatan qarasak, Z =  Z; +  monoid bo‘ladi, chunki a 0 ga (teskari) simmetrik element a-1=1/aZ.
3. Бarcha ratsional sonlar to‘plami Q qo‘shishga nisbatan additiv Abel gruppasi Q= Q; +  bo’ladi. Agarda Q1=Q \{0} to’plamni qarasak, Q1= Q1;  ham multiplikativ gruppa bo‘ladi.
4. Haqiqiy sonldar to‘plamini qarasak, u holda R= R; + additiv Abel gruppasi; R1= R1;  esa multiplikativ Abel gruppasi bo‘ladi. Bu yerda R1=R \{0}.
5. m0 moduli bo‘yicha chegirmalar sinflari { C01, C2, ... , Cm-1}=Z / mZ to‘plamida qo‘shish amalini

Tenglik bilan aniqlasak, Z/mZ= Z/ mZ; +  additiv Abel gruppasi bo‘ladi. Bunda neytral element C0 ; Ci elementga qarama karshi element Cm-i sinf bo‘ladi, chunki Ci +Cm-i = Cm = C0 .
6. m=6 modul bo‘yicha chegirmalar sinflari to‘plami Z/6Z={ C01, C2, C34, C5, } dan iborat bo‘ladi.

+

С0

С1

С2

С3

С4

С5

С0

С0

С1

С2

С3

С4

С5

С1

С1

С2

С3

С4

С5

С0

С2

С2

С3

С4

С5

С0

С1

С3

С3

С4

С5

С0

С1

С2

С4

С4

С5

С6

С1

С2

С3

С5

С5

С0

С1

С2

С3

С4

Bu jadvaldan foydalanib gruppa ta’rifidagi 1), 2), 3), 4), shartlarning bajarilishini osonlik bilan tekshirish mumkin.
Z/6Z= Z/ 6Z; +  - additiv Abel gruppasi.
7). Z/mZ to‘plamda ko‘paytirish amalini

tenglik bilan aniqlasak.  Z/ mZ;   - multiplikativ monoid bo‘ladi. Bunda neytral element С1 bo‘ladi, assotsiativlik qonuni bajariladi, lekin ixtiyoriy Сi uchun Ci Cj = C1 shartni qanoatlantiruvchi Cj element mavjud emas.
Masalan, m=6 da C3 C0 = C0 , C3 C1 = C3 , C3 C2 = C0 , C3C3 = C3 , C3C4 = C0 , C3 C5 =C3 ya’ni C3 Cj = C1 tenglikni qanoatlantiruvchi Cj sinf mavjud emas.
8). М={1,-1} to‘plamning arifmetik ko‘paytirish amaliga nisbatan multiplikativ gruppa bo‘lishligini isbotlang.
9). a+b3 ko‘rinishdagi sonlar to‘plamini a,b R bo‘lganda ko‘paytirish va qo‘shish amallariga nisbatan gruppa bo‘lish yoki bo‘lmasligini tekshiring.
GRUPPANING XOSSALARI
1. Ixtiyoriy gruppada neytral element bir qiymatli aniqlanadi va gruppaning istalgan elementi uchun yagona teskari (simmetrik )element mavjud bo‘ladi. Biz bu xossani ilgari umumiy holda isbotlagan edik.
2. Har qanday multiplikativ gruppada bo‘lish munosabati o‘rinli, ya’ni istalgan a va b elementlar uchun shunday elementlar topiladiki, tenglamalar yagona yechimga ega .
Isboti. ax=b tenglamani chap tomondan а-1 ga ko‘paytirsak, а-1(ax)= а-1b yoki -1 a)x= а-1b  ex = а-1b x= а-1 b ga ega bo‘lamiz. x= а-1b bilan birga c ham ax=b tenglamaning yechimi bo‘lsa, u holda c=e c=( а-1 a)c= а-1(ac); bu yerda ас =b bo‘lgani uchun c= а-1b ya’ni с= x.
3. Istalgan grupaning elementlari regulyar elementlardir.
Haqiqatan ham a b= a c  b=c va ba= ca  b=c kelib chiqadi. Gruppaning elementlariga simmetrik а' element mavjud
l bo‘lgani uchun а' (a b)= а' c)  (а'a) b=( а' a)c  e b=ec b=c . Keyingi tenglik ham shuning singari isbotlanadi.
4. G,⊤ - gruppaning ixtiyoriy n ta elementi shu gruppada aniqlangan algebraik amal ⊤ga nisbatan assotsiativdir .
Isboti. Isbotni yozuvda soddalik uchun ko‘paytirish amaliga nisbatan olib boramiz.
1) n=1,2 da isbotning hojati yo‘q;
n=3 da esa gruppa ta’rifidagi 1)-shartda berilgan.
Faraz etaylik, n=k da teorema o‘rinli bo‘lsin, ya’ni n ta ko‘paytuvchining ko‘paytmasi qavslarni qo‘yish tartibiga bog‘liq bo‘lmasin. U holda a1 a2 ...aк = deb yoza olamiz. Bu tenglikning ikkala tomonini aк+1 ga ko‘paytirsak,
(a1 a2 ...aк )  aк+1 = ( )  aк+1 = · ak+1.
Endi va lardagi ko‘paytuvchilar soni k dan kichik shuning uchun bu ko‘paytuvchilar uchun xossa o‘rinli.
Endi , , ak+1 hadlar uchun (ularni 3ta element deb) assotsiativlik qonunini qo‘llasak  ak+1 ifodaga va demak (a1 a2 ...aк )  aк+1 ifodada ham uning qiymati qavslarni qo‘shish tartibiga bog‘liq emas degan xulosaga kelamiz.
5. a1 ,a2 , ...,aк G elementlarining ko‘paytmasiga teskari bo‘lgan element ak-1ak-1-1 ...a1-1 bo‘ladi .(Tekshiring). a.a...a=an deb belgilaymiz, а0 .
6. Agar а G bo‘lsa , u holda anG, nN bo’ladi.
GRUPPALARNING GOMOMORFLIGI
Faraz etaylik, G =  G;   -1 va H =  H;   -1  - multiplikativ gruppalar berilgan bo‘lsin. Agar G ni H ga akslantiruvchi h akslantirish asosiy amallarni saqlasa , ya’ni
1) a,b G uchun h(аb)= h(a) h(b) ,
2)  a  G, h(a-1) =(h(a)) -1
шартлар бажарилса, h ga gomomorf akslantirish, G va H gruppalarga esa gomomorf (o‘xshash) gruppalar deyiladi. Agar h:GH gomomorf akslantirish bo‘lib G ni H ga (ustiga) o‘tkazsa h ga epimorf akslantirish deyiladi .
Agar h:GH akslantirish o‘zaro bir qiymatli akslantirish bo‘lib, asosiy amallarni saqlasa bunday akslantirishga izomorf akslantirish deyiladi (xossalari bir xil). Bu holda G va H gruppalarga izomorf gruppalar deyiladi va GH ko’rinishda yoziladi.
G ni G ga (ustiga) akslantiruvchi izomorf h akslantirishga avtomorfizm deyiladi. 1-teorema. Agar h:GH akslantirish G dagi binary amal  ni saqlasa, ya’ni  a,bG, h(ab)=h(a) h(b) tenglik o’rinli bo’lsa, u holda h G gruppaning birlik е elementini H gruppaning birlik elementiga o’tqazadi va h:GH gomomorf akslantirish bo’ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, е G ning bir elementi bo’lsin va u h akslantirishda е' H elementga o’tsin, ya’ni е' = h(е) H. е' ning H uchun birlik element ekanligini ko’rsatamiz . 1) ga asosan
h(ee)=h(e)  h(e) = е' е', ikkinchi tomondan е' =h(e)=h(e e). Demak, е' е' =е', ya’ni е' H birlik element. h ning gomomorf akslantirish ekanligini ko’rsatish uchun 2) shartni qanoatlantishni ko’rsatish yetarli.
Faraz qilaylik , a G bo’lsin. U holda G gruppa bo’lgani uchun
a-1G va a a-1 = e G . (1) ga asosan bundan h(a a-1) = h(a) h(a-1)= h(e)= e' H . Demak,  a  G, h(a-1) =(h(a)) -1 , ya’ni h(a) ga teskari element.
Gruppalar to‘plamidagi izomorflik munosabati ekvivalentlik munosabatidir (tekshirib ko‘ring ).
Misollar. 1. Q* - barcha noldan farqli ratsional sonlar to‘plami va Q*= Q* ;  , -1esa ratsional sonlarning multiplikativ gruppasi bo‘lsin. Q+=Q+;  , -1  - musbat ratsional sonlarning multiplikativ gruppasi bo‘lsin. U holda h(a)=a, h:Q* Q+ ( ya’ni h:aa) gomomorf akslantirish bo‘ladi.
1-shart. h(a.b)=h(a).h(b), chunki ab=ab
2-shart. h(a-1) =(h(a)) -1, a-1=a-1 lar absolyut qiymatning xossalariga asosan bajariladi.
2. R+= R+;  , -1  - musbat haqiqiy sonlarning multiplikativ gruppasi, R=R ; +, -  esa haqiqiy sonlarning additiv gruppasi bo‘lsin, u holda f(x)=log x funktsiyaning yordamidagi akslantirish f: R+R izomorf akslantirish bo‘ladi, chunki log (x.y)=log x=log y, log x-1 = - log x .
3. g (x) = 2x funktsiya yordamida akslantirish (ya’ni f (x)=log2 x funktsiyaga teskari funktsiya bilan) g:R R+ ham izomorf akslantirish bo‘ladi, chunki 2x+y = 2x · 2y, 2-x =(2x )-1 .


Mavzuni mustahkamlash uchun savollar
1). Gruppa deb nimaga aytiladi?
2). Chekli gruppaning tartibi deganda nimani tushunasiz?
3). Additiv va multiplikativ gruppaga ta’rif bering.
4). qism gruppa deganda nimani tushunasiz ?
5). Gruppaning normal bo‘luvchisi deb nimaga aytiladi?
6). Lagranj teoremasini ayting .
7). Faktor gruppaga ta’rif bering.
8). Gomomorf gruppalar deb qanday gruppalarga aytiladi?
9). Izomorf gruppalar deb qanday gruppalarga aytiladi?
Download 66,63 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish