Mavzu: Gamilton tenglamasi. Kanonik tenglamalar. Gamilton funksiyasi. Gamilton shakli Reja

2) Ba’zi koordinatalar H funksiyaning tartibiga oshkor ravishda kirmasin, ya’ni siklik koordinatalar bo’lsin. Faraz qilaylik, birinchi k ta koordinatalar siklik bo’lsin (k<n). U holda

bunday holda
(i=1,2,…k) va

bo’lib, Gamilton tenglamalari k ta birinchi integralni beradi:
(16)
bu yerda a_i lar o’zgarmas miqdorlar. Bu integrallarga siklik integrallar deyiladi va ularga mos o’zgarmaslar siklik impulslar o’zgarmas bo’ladi.
Gamilton funksiyasi. Gamilton tenglamalari. Kanonik tenglamalar.
Biz har qanday mexanik sistemani harakat qonunlarini aniqlashda Logranch funksiyasidan foydalangan holda Logranch tenglamasidan yechar edik. Bu tenglama esa eng kichik ta’sir prinsipi asosida kelib chiqqan umumlashgan koordinataga bog’liq bo’lgan ikkinchi tartibli differensial tenglama deyiladi. Bu tenglama vaqtga bog’liq bo’lgan tenglama.Mexanik sistemalarni harakat qonunlari faqat Logranch tenglamalari yordamida yechilmaydi.Harakat qonunlarini aniqlashni boshqa usullari ham mavjud bo’lib shulardan biri Gamilton metodidir.
Bu metodga ko’ra mexanik sistemaning xolati umumlashgan koordinata va umumlashgan impuls orqali ifodalaniladigan funksiya orqali qaraladi.
Bu funksiyani quyidagicha ko’rinishda belgilaymiz.
(1)
Bu (1) ifoda Gamilton funksiyasining umumiy holdagi ko’rinishi. Endi Gamilton funksiyasini istalgan bir mexanik sistema uchun ko’rinishini topaylik. Buning uchun vaqtning bir jinsliligidan foydalanib Logranch funksiyasini yozamiz.
(2)
va bu funksiyadan to’liq differensial olamiz.va (2) ifodani quyidagicha yozamiz.
(3)
Bu ifodani (1) va (2) xadi quyidagicha ifodalanishini e’tibirga olsak.
(4)
(3) ifodani (4) ifoda orqali quyidagicha yozamiz.
(5)
Yuqorodagi (4) ifoda Eyler-Logranch tenglamalri deyiladi.
(5) ifodadagi (6)
Ifpdani quyidagicha yozish mumkin.
(7)
ifodani (5) ifodaga qo’yamiz va quyidagicha yozamiz.
(8)
(9)
(10)
(11)
(11) ifodani o’ng tomonidan ko’rinib turibdiki umumlashgan koordinata va umumlashgan impulslarga bog’liq bo’lgan funksiya Tenglamaning chap tomoni esa to’liq energiyani ifodalaydi.Bu ifodani quyidagicha belgilab olamiz.
(12)
Bu ifoda Gamilton funksiyasi deyiladi.
Bu ifodaga kelish uchun bir qancha almashtirishlar bajariladi.Bu almashtirishlarga Logranch almashtirishlari deyiladi.
(12) ifodani quyidagicha belgilashlar orqali tenglamalarni bir-biri bilan taqqoslaymiz.
(13)
(14)
(13) va (14) ni taqqoslab (15) ifoda kelib chiqadi.
(15)
(15) ifoda Gamilton tenglamalari deyiladi. Bu ifoda birinchi tartibli xususiy xosilali differensial tenglamasidir. (15) ifoda bir-biriga nisbatan simmetrik tenglama bo’lganligi uchun bu Gamilton tenglamani kanonik tenglamalar deyiladi.
Gamilton funksiyasi vaqtga ochiqdan-ochiq bog’liq bo’lmaganligi uchun uning vaqt bo’yicha xosilasi nolga teng bo’ladi.

Demak,Gamilton funksiyasi harakat integrali ekan,ya’ni Gamilton funksiyasi to’liq energiya funksiyasi ekan.
Bu degani energiyani saqlanish qonunini bildiradi.