|
2-мисол.
оралиқда аниқланган
функциянинг Фурье
қатори тузилсин.
Ечилиши:
Бу функция ѐрдамида қаторнинг коэффициентларини
топамиз.
Шундай қилиб, қатор
кўринишда бўлади.Бундан
а)
деб олсак,
бўлиб, қатор нолга айланади. Демак,
, яъни
да қатор
га яқинлашмайди;
б)
бўлса,
ва қатор нолга айланади,яъни
ва
яъни
. Демак,
, яъни
да қатор
га
яқинлашади;
c)
х=2π
да
;
Демак,тузилган қатор
да
га яқинлашмайди.
Биз юқорида икки мисолда кўрдикки,
нинг функциянинг аниқланиш
оралиғига тегишли исталган қийматида қатор йиғиндиси билан
функция
қиймати бир-бирга тенг бўлавермайди. Қаторнинг берилган функцияга
яқинлашадиган оралиғига тегишли лар учунгина қатор йиғиндиси билан
нинг қиймати ўзаро тенг бўлади. Шунинг учун қаторнинг
га
яқинлашиш оралиғини аниқламасдан туриб, функция билан қатор орасига
тенглик белгисини қўйиш мумкин эмас. Шунга кўра ҳозирча биз қатор билан
функwbя орасига
белгисини қўямиз.
1
2
2
1
4
3
4
n
n
]
2
,
0
[
2
)
(
x
x
f
;
0
4
4
4
)
(
2
1
2
0
2
2
0
0
x
dx
x
a
,
1
cos
2
1
-
sin
2
1
sin
2
1
cos
2
1
2
0
2
2
0
2
0
2
0
n
nx
n
nxdx
n
nx
x
nxdx
x
a
n
)
,....
3
,
2
,
1
(
,
1
n
n
b
n
1
sin
n
n
nx
0
x
2
)
0
(
f
0
0
sin
)
0
(
1
n
n
f
0
x
)
(
x
f
x
0
)
(
x
f
0
)
(
f
1
0
sin
n
n
n
0
)
(
S
1
sin
)
(
n
n
n
f
x
)
(
x
f
;
2
)
2
(
f
1
0
2
sin
n
n
n
1
2
sin
)
2
(
n
n
n
f
2
x
)
(
x
f
x
)
(
x
f
x
)
(
x
f
)
(
x
f
)
(
x
f
)
(
1
0
)
sin
cos
(
2
)
(
k
k
k
x
l
k
b
x
l
k
a
a
x
f
Юқоридаги кўрилган мисолларни қуйидагича ѐзиш мумкин:
учун
1)
2)
4. Тоқ ва жуфт функцияларни Фурье қаторига ёйиш.
функция
сегментда аниқланган бўлсин.
функция
да
шартни қаноатлантирса, у ҳолда у жуфт функция дейилади, агар
учун
тенглик ўринли бўлса,
тоқ функция дейилади. Бу
таърифлардан кўринадики, жуфт функциянинг графиги, ордината ўқига
нисбатан симметрик бўлади, тоқ функциянинг графиги эса координата
бошига нисбатан симметрик бўлади. Агар
функция
оралиқ
берилган ихтиѐрий функция бўлса, у ҳолда
(20)
кўринишда тузилган функцияларнинг биринчиси жуфт,иккинчиси эса, тоқ
функция бўлади.
оралиқда берилган
функцияни тоқ ва жуфт функциялар
йиғиндиси шаклида тасвирлаш мумкин, яъни
(21)
Агар
функция
да интегралланувчи бўлса,у ҳолда
(22)
бунда
(22) дан
(23)
-жуфт,
-тоқ функциялар
да жуфт функция бўлса, у ҳолда унинг Фурье қатори
(24)
кўринишда бўлади,агарда тоқ функция бўлса,унинг Фурье қатори
]
2
,
0
[
x
,
sin
cos
4
3
4
1
2
2
2
n
n
nx
n
nx
x
.
sin
2
1
n
n
nx
x
)
(
x
f
]
,
[
l
l
)
(
x
f
]
,
[
l
l
)
(
)
(
x
f
x
f
]
,
[
l
l
x
)
(
)
(
x
f
x
f
)
(
x
f
)
(
x
f
]
,
[
l
l
2
)
(
)
(
)
(
,
2
)
(
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
]
,
[
l
l
)
(
x
f
]
,
[
),
(
)
(
)
(
2
1
l
l
x
x
f
x
f
x
f
)
(
x
f
]
,
[
l
l
,
)]
(
)
(
[
)
(
)
(
)
(
0
0
0
l
l
l
l
l
dx
x
f
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
l
l
l
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
0
0
0
)
(
)
(
)
(
lsa
bo'
funksiya
toq
-
f(x)
agar
,
0
lsa,
bo'
funksiya
juft
-
f(x)
agar
,
)
(
2
)
(
-
0
l
l
l
dx
x
f
dx
x
f
,...
cos
,...
2
cos
,
cos
,
2
1
l
x
k
l
x
l
x
,...
sin
,...
2
sin
,
sin
l
x
k
l
x
l
x
)
(
x
f
]
,
[
l
l
1
0
cos
2
k
k
x
l
k
a
a
(25)
кўринишда бўлади.Ҳақиқатан ҳам ,агар
жуфт функция бўлса, у ҳолда
-жуфт,
-тоқ функция бўлади.Шунинг учун
(26)
Агар
-тоқ функция бўлса, у ҳолда
-тоқ,
-жуфт
функция бўлади.Шунинг учун
(27)
5. Функцияни
сегментда Фурье қаторига ёйиш
Агар
сегментда берилган
функцияни тригонометрик Фурье
қаторига ѐйиш талаб қилинган бўлса, у ҳолда (15), (16) ва (17) формулаларда
деб, ушбу Фурье қатори коэффициентлари ва қаторига
(28)
эга бўламиз.
функция умумий ҳолда
да берилганда (28)
кўринишга
алмаштирш орқали келади.
6. Тригонометрик Фурье қаторининг яқинлашиши тўғрисида
асосий теорема
Биз энди берилган функция учун тузилган Фурье қаторининг ўша функцияга
яқинлашишига оид масалани ўрганамиз. Бунинг учун математик анализнинг
юқорида кўрилган баъзи тушунчаларини эслаб ўтамиз.
Бўлакли узликсиз, бўлакли силлиқ функция
1
sin
k
k
x
l
k
b
)
(
x
f
x
l
k
x
f
cos
)
(
x
l
k
x
f
sin
)
(
0
sin
)
(
1
cos
)
(
2
cos
)
(
1
,
)
(
2
)
(
1
0
0
0
d
l
k
f
l
b
d
l
k
f
l
d
l
k
f
l
a
d
f
l
d
f
l
a
l
l
k
l
k
l
l
l
)
(
x
f
x
l
k
x
f
cos
)
(
x
l
k
x
f
sin
)
(
,
0
)
(
1
0
d
f
l
a
l
l
,
0
cos
)
(
1
d
l
k
f
l
a
l
l
k
d
l
k
f
l
d
l
k
f
l
b
l
l
l
k
0
sin
)
(
2
sin
)
(
1
]
,
[
]
,
[
)
(
x
f
l
,
)
(
1
0
d
f
a
,
cos
)
(
1
d
l
k
f
a
n
,
sin
)
(
1
d
l
k
f
b
n
1
0
)
sin
cos
(
2
)
(
k
k
k
x
l
k
b
x
l
k
a
a
x
f
)
(
x
f
]
,
[
l
l
'
),
(
)
'
(
,
'
x
lx
f
x
l
x
x
1-таъриф.
Агар
функция
сегментнинг чекли сондаги
нуқталаридан ташқари ҳамма нуқталарида узлуксиз бўлиб, ўша чекли
сондаги нуқталарида 1-тур узилишга эга бўлса, у ҳолда
функция
да бўлакли узлуксиз дейилади. Таърифдан кўринадики, бундай функция
кесмага қарашли ихтиѐрий нуқтада чекли ўнг ва чап (агар узликсизлик
нуқтаси бўлса ўзаро тенг ) лимитларга эга, яъни
(28)
Шунингдек, чекли
(29)
га эга бўлади. Масалан,
функция учта узлуксиз бўлакдан иборат бўлиб,
ва
нуқталар
учун биринчи тур узилиш нуқталари бўлиб,
Бундан ташқари
нинг қолган барча
нуқталарида
.
2-таъриф.
Агар
да бўлакли узлуксиз
функция шу кесманинг
деярли барча нуқталарида чекли икки ѐқлама
ҳосилага эга бўлиб, шу
кесманинг фақат чекли сондаги нуқталарида чекли ўнг ва чап ҳосилаларга
эга бўлса, у ҳолда
функция
да бўлакли силлиқ дейилади.
Бу таърифдан равшанки,
кесмага қарашли ихтиѐрий х
0
нуқтада
чекли (
)
икки ѐқлама ѐки чекли сондаги нуқталарда
бўлиши зарур.
Бундан ташқари чекли
ҳосилалараг эга бўлади. Юқоридаги кўрилган
бўлакли силлиқ
функциядир.
1-эслатма.
Агар
функция
да бўлакли силлиқ функция бўлса,
у ҳолда бу кесмани ҳар доим чекли шундай та
)
(
x
f
]
,
[
b
a
)
(
x
f
]
,
[
b
a
]
,
[
b
a
0
x
0
x
)
(
)
(
lim
),
(
)
(
lim
0
0
0
0
0
0
0
0
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x
x
x
)
0
(
)
(
lim
),
0
(
)
(
lim
0
0
b
f
x
f
a
f
x
f
b
x
x
x
a
3
2
,
1
2
0
,
,
0
1
,
3
)
(
2
1
x
x
x
x
x
x
f
0
x
2
x
)
(
1
x
f
,
0
)
(
lim
,
3
)
(
lim
1
0
1
0
x
f
x
f
x
x
3
)
(
lim
,
4
)
(
lim
1
0
2
1
0
2
x
f
x
f
x
x
4
)
(
lim
,
3
)
(
lim
1
0
3
1
0
1
x
f
x
f
x
x
]
3
,
1
[
)
(
)
(
lim
1
x
f
x
f
]
,
[
b
a
)
(
x
f
)
(
'
x
f
)
(
x
f
]
,
[
b
a
]
,
[
b
a
)
0
(
'
)
(
'
lim
),
0
(
'
)
(
'
lim
0
0
0
0
0
0
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x
x
x
)
0
(
'
)
0
(
'
0
0
x
f
x
f
)
0
(
'
)
0
(
'
0
0
x
f
x
f
)
0
(
'
)
(
'
lim
),
0
(
'
)
(
'
lim
0
0
b
f
x
f
a
f
x
f
b
x
x
x
a
)
(
1
x
f
3
2
,
1
2
0
,
2
0
1
,
0
)
(
/
1
x
x
x
x
x
f
)
(
x
f
]
,
[
b
a
k
]
,
[
],...,
,
[
],
,
[
],
,
[
1
3
2
2
1
1
0
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
кесмаларга ажратиш мумкинки
,
ва
функциялар исталган
кесманинг ички нуқталарида
узликсиз бўлиб, ўнгдан га, чападан
га интилганда
ва
мос
равишда қуйидаги чекли
ва
лимитларга
интилади.
Агар
ва
деб қабул қилсак у ҳолда
ва
функциялар
кесмаларнинг ҳар бирида узликсиз
бўлади.
функция,
да узликсиз бўлиб, унинг
ҳосиласи ўша
кесмада бўлакли силллиқ бўлиши ҳам мумкин. Масалан,
функция [0,2] да узликсиз ,унинг
ҳосиласи эса, иккита силлиқ бўлакдан иборат (2-чизма)
Do'stlaringiz bilan baham: |
