Mavzu: Funksiyalar sistemasining to’liqligi va yopiqligi. Muhim yopiq sinflar. Post teoremalari

6- ta’rif. bilan (nta argumentli mantiq algebrasining hamma
funksiyalarini o‘z ichiga olgan) to‘plamning biror qism to‘plamini belgilaymiz. to‘plam funksiyalarning superpozitsiyasidan hosil qilingan hamma Bul funksiyalari to‘plami ( to‘plam funksiyalari orqali ifodalangan hamma bul funksiyalari to‘plami) to‘plamning yopig‘i deb aytiladi va kabi belgilanadi.
3- misol. 1. bo‘lsin, u holda bo‘ladi.
2. bo‘lsin, u holda to‘plamning yopig‘i barcha chiziqli funksiyalar to‘plamidan (ya’ni, to‘plamdan) iborat bo‘ladi. ■

1- jadval
a)		+	–	–	+	+
		+	+	–	–	+
		+	+	+	+	–
b)		–	+	–	+	+
		+	+	–	–	+
		+	+	+	+	–
d)		–	–	+	–	–
e)		+	–	–	+	+
		–	+	–	+	+
		+	–	–	+	–
f)		+	–	–	+	+
		–	+	–	+	+
		+	+	–	–	+

To‘plam yopig‘i quyidagi xossalarga ega:
1) ;
2) ;
3) agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi;
4) . ■
7- ta’rif. Agar bo‘lsa, u holda to‘plam (sinf) funksional yopiq sinf deb ataladi.
4- misol. 1. funksional yopiq sinfdir.
2. funksional yopiq sinf emas.
3. funksional yopiq sinfdir. ■
Osongina ko‘rish mumkinki, har qanday funksional sinf yopiq sinf bo‘ladi. Bu hol ko‘pgina funksional yopiq sinflarni topishga yordam beradi.
To‘plam yopig‘i va yopiq sinf tilida funksiyalar sistemasining to‘liqligi ta’rifini (avvalgi ta’rifga ekvivalent bo‘lgan ta’rifni) berish mumkin.
8- ta’rif. Agar bo‘lsa, u holda funksiya-lar sistemasi to‘liq deb ataladi.
5- misol. Quyidagi funksiyalar sistemalarining to‘liq emasligini Post jadvali vositasida isbot qilamiz (1- jadvalga qarang).
a) ; b) ;
d) ; e) ;
f) .
Post jadvalidan ko‘rinib turibdiki, yuqorida keltirilgan barcha funksiyalar sistemalari to‘liq emas, chunki har bir sistema uchun jadvalda bitta ustun faqatgina “+” ishoralaridan iborat. Shuni ham ta’kidlash kerakki, har bir sistema uchun bu ustunlar har xil.
Demak, Post teoremasi shartidan , , , , maksimal funksional yopiq sinflarning birortasini ham olib tashlash mumkin emas. Bu xulosadan, o‘z navbatida, , , , , maksimal funksional yopiq sinflarning birortasi ham boshqasining qism to‘plami bo‘la olmasligi kelib chiqadi. ■