Mavzu: Funksiya aniq integralini hisoblash Boshlang’ich funksiya va aniq integral. Aqin integralning xossalari

Mustaqil ish

Sanoat farmatsiya 301-A gurux:

Abdulxayev Odilbek

Mavzu: Funksiya aniq integralini hisoblash

Boshlang’ich funksiya va aniq integral. Aqin integralning xossalari. Integrallar jadvali
Ma’lumki, harakatdagi nuqtaning tezligini topish, shuningdek, egri chiziqqa urinma o’tkazish kabi masalalar funksiyani differensiallash tushunchasiga olib kelgan edi.

Nuqtaning har bir vaqt momentidagi tezligi ma’lum bo’lganda uning harakat qonunini topish, egri chiziqni uning har bir nuqtasidagi urinmalariga ko’ra aniqlash kabi masalalar ham ko’p uchraydi. Bunday masalalar yuqorida eslatib o’tilgan masalalarga teskari masalalar bo’lib, ular funksiyani integrallash tushunchasiga olib keladi.

Ta’rif. Biror chekli (a,b) yoki cheksiz oraliqdagi har bir  nuqtada defferensiallanuvchi va hosilasi

shartni qanoatlantiruvchi F(x) funksiya berilgan f(x) funksiya uchun boshang’ich funksiya deyiladi. Masalan,      , funksiya uchun   boshlang’ich funksiya bo’ladi.

Ta’rif. Agar   va   berilgan f(x) funksiyaning ixtiyoriy ikkita boshlang’ich funksiyalari bo’lsa, u holda biror   o’zgarmas sonda   bo’ladi.

Ta’rif. Agar F(x) biror (a,b) oraliqda f(x) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi bo’lsa, u holda  funksiyalar to’plami shu oraliqda f(x) funksiyaning aniqmas integrali deyiladi.

Berilgan funksiyaning aniqmas integrali   kabi belgilanadi va ta’rifga asosan, birorta F(x) boshlangich funksiya bo’yicha

tenglik bilan aniqlanadi.

Bunda  -integral belgisi,   integral ostidagi funksiya,   integral ostidagi ifoda,   esa integrallash o’zgaruvchisi deyiladi.Berilgan f(x) funksiyaning   aniqmas integralini topish amali bu funksiyani integrallash deyiladi.

Aniqmas integral quyidagi bir qator xossalarga ega:

;  ;  ;    ;

.

Agar   bo’lsa,   bo’ladi.

Differensiallash va integrallash amallari o’zaro teskari amallar bo’lganligi uchun, hosilalar jadvalidan foydalanib, quyidagi integrallar jadvalini hosil qilamiz.

 (c-o’zgarmas son);  ;

;  ;

;  ;

;  ;

;  ;

;  ;

;

;

;



  )  ;

;  ;

.

Aniqmas integralni hisoblashda aniqmas integralning xossalaridan va jadvallaridan foydalaniladi. Bunga aniqmas integralni bevosita hisoblash deyiladi.

Aniqmas integrallarni hisoblashda ko’pincha

   va 

formulalardan foydalanish qulay bo’ladi.

Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar

1.   bo’lsa F(x) topilsin.

Yechish: Izlanayotgan F(x) funksiya ikkita funksiya va o’zgarmas son yig’indisidan iborat bo’lib, birinchi qo’shuluvchi   ga, ikkinchi qo’shiluvchi   ga va uchinchi qo’shiluvchi o’zgarmas sondan iborat. Demak .

2.   ni hisoblang.

Yechish: Bu yerda f(x) funksiya uchta qo’shiluvchidan iborat. Integralni hisoblash uchun yig’indining aniqmas integrali haqidagi xossadan va integrallar jadvalidan foydalanamiz.

 3.  ni hisoblang:

Yechish:   

4.   ni hisoblang.

Yechish: Agar   deb olsak,   bo’ladi. U holda   

5.   ni hisoblang.

Yechish: Agar   deb olsak   bo’ladi. U holda  .

6.   integral hisoblansin.

Yechish:   deb olsak,   bo’ladi. Shunday qilib, berilgan integral   ko’rinishga keladi. Bundan esa

 kelib chiqadi.
Mustaqil yechish uchun topshiriqlar.

1. Quyidagi:

1)  ; 2)  ; 3)  ;

4)  ; 5)  ; 6) 

tengliklardagi bo’sh joylar tegishli mulohazalar yordamida to’ldirilsin.

2. Quyidagi integrallar hisoblansin.

1)  ; 2)  ;

3)  ; 4)  ;

5)  ; 6)  ;

7)  ; 8)  ;

9)  ; 10)  ;

11)  ; 12)  ;

13)  ; 14)  .

Javob: 1)  ; 2)  ;

3)  ; 4)  ; 5)  ; 6)  ; 7)  ; 8)  ;

9)  ; 10)  ; 11)  ; 12)  ; 13)  ; 14)  .

3. Quyidagi integrallar hisoblansin:

1)  ; 2)  ; 3)  ; 4)  ;

5)  ; 6)  .

Javob: 1)  ; 2)  ; 3)  ; 4)  ; 5)  ; 6)  .

4. Quyidagi integrallar hisoblansin:

1)  ; 2)  ; 3)  ;

4)  ; 5)  ; 6)  ;

Javob: 1)  ; 2)  ; 3)   4)  ; 5)  ;

6)  .