Мавзу: Функция қийматларини қаторлар ёрламида тақрибий ҳисоблаш Ишнинг мақсади

Мавзу: Функция қийматларини қаторлар ёрламида тақрибий ҳисоблаш


Ишнинг мақсади: Талабалар транцендент функциялар қийматларини тақрибий ҳисоблашни ўрганиши, функциялар тақрибий қийматларини топишда қаторларга ёйиш усулларини ўрганиши, Тейлор ва Маклорен қаторлари ҳақида билим ва кўникмаларга эга бўлиши ҳамда мустақил масалалар ечиши ва шу масалага мос алгоритмлар қура олиши керак.
Масаланинг қўйилиши: Вариантларда келтирилган мисолларга мос қаторларга ёйиш усулларидан фойдаланиб, мисолларни ечиш ва дастурини тузиш.


Назарий қисм
Бу ерда шундай трансцендент функцияларни кўрамизки, улар ўзларининг Маклорен (инглиз математиги (1698-1746)) қатори йиғиндисидан иборат бўлади
(1.1)
Маклорен қаторининг бир неча ҳадлари йиғиндисини олиб, тақрибий формулани ҳосил қиламиз, яъни

Бу ҳолда, қатор қолдиғи кўринишда бўлади.
Қолдиқ ҳад хатолигини баҳолаш қатордан олинган қўшилувчилар сонига, яъни P_n(x) кўпҳад даражаси n га боғлиқ бўлиши равшандир.


Даражали қатор ёрдамида e^x функция қийматини ҳисоблаш

e^x функциянинг Маклорен қаторига ёйилмаси

(1.2)
бўлиши маълум. e^x функция қийматини ҳисоблашда (1.2) ёйилма асосида қуйидаги рекуррент формуладан фойдаланиш қулай бўлади:

бу ерда u₀=1, S₀=1. бўлиб, бу сон e^x нинг изланаётган тақрибий қийматлар кетма-кетлигининг н-яқинлашишини беради. Қаторнинг қолдиқ ҳадини қуйидагича баҳолаш мумкин:
, xn)
Қўшиш жараёнини сўнгги қўшилувчи ун олдиндан берилган ҳисоблаш аниқлиги, яъни тақрибий қиймат абсолют хатолиги бўлган ԑ сондан модуль бўйича кичик бўлганда тўхтатиш мумкин:

1.10-масала. сонини ԑ =10^-5 аниқлик билан ҳисобланг.
Ечиш.
Юқорида айтилганларга асосланиб
(1.3)
формуладан фойдаланиб, ҳисоблаймиз.
Бу ерда u₀=1, u_k=x(u_k-1) / k (k=1,2,…,n) бўлиб, қуйидагиларни кетма-кет ёзишимиз мумкин.
u₀=1







-------------------------------------
S₇=1.6487216 _
Натижани бутун қисмидан сўнг бешта ўнли рақамгача яхлитлаб қуйидаги натижани ёзамиз,

Эслатма. а^х кўрсаткичли функция қийматини ҳисоблашда
a^x=e^{xln a}
формуладан фойдаланамиз.