Mavzu: Erlang va Pirson qonunlari

Muvofiqlik kriteriysi deb, bosh to’plam noma’lum taqsimotining taxmin qilinayotgan qonuni haqidagi gipotezani tekshirish uchun xizmat qiluvchi kriteriyga aytiladi.
Bir qancha muvofiqlik kriteriylari mavjud: Pirson (  ² -xi kvadrat) kriteriysi, Kolmogorov, Smirnov va h.k. kriteriylar.
Pirsonning  ² - kriteriysi noma’lum taqsimot haqidagi gipotezani

tekshirishda ko’p qo’llaniladigan kriteriylardandir. Shu kriteriyga batafsilroq to’xtalamiz. X ning barcha mumkin bo’lgan qiymatlar sohasini k ta

^{1, 2 ,...,  n} intervallarga bo’linadi va har bir _i
n- hisoblanadi.
oraliqqa tushgan variantalar soni

R(X = F(x) - nazariy taqsimot funktsiyasi ma’lum degan farazda X ning

^i ; oraliqdagi qiymatlarini qabul qilish ehtimoli
P_i ni topish mumkin.

P_i  PX  _i   _ dF x
  _i

Bundan foydalanib, X ning ^ _i
oraliqqa tegishli qiymatlarining nazariy

chastotalarini
np_i
formula orqali hisoblash mumkin. Topilganlarni quyidagi

jadvalga yozamiz:

Oraliqlar -  i	1	 2	…	 i	…	 k
Empirik chastotalar	n1	n2	…	ni	…	nk
Nazariy chastotalar	np1	np2	…	npi	…	npk

Bunda n₁+ p₂+ ... + n_k=n, p₁+ p₂+ ... + p_k⁼1

Odatda empirik va nazariy chastotalar bir-biridan farq qiladi. Agar bu chastotalar farqi katta bo’lsa, tekshirilayotgan gipoteza rad qilinishi, aks holda esa qabul kilinishi kerak.
Empirik va nazariy chastotalar farqi darajasini xarakterlovchi kriteriy hamda
H ₀ asosiy gipotezani tekshirish kriteriysi sifatida

 ²_

tasodifiy miqdorni qaraymiz.

Matematik statistikaga oid adabiyotlarda  ² tasodifiy miqdor ^{n  } da,

S=k+1 ozodlik darajali  ² taqsimot qonuniga intilishi isbotlanadi.

 ² _

 ² tasodifiy miqdorning muhim xususiyatlaridan biri shundaki, u F(x) nazariy

taqsimot qonunining konkret ko’rinishga bog’liqmas ravishda x ² taqsimot

qonuniga
n  
da intiladi.

Ozodlik darajalari soni S=k-l-1 tenglik bo’yicha topiladi, bunda k oraliqlar soni, l esa F(x) gipotetik taqsimotning tanlanma ma’lumotlari bo’yicha baholangan parametrlari soni.
Masalan: gipoteza qilinayotgan taqsimot normal taqsimot bo’lsa, u holda ikkita parametr va ^ baholanadi, shu sababli l=2 va S=k-l-1=k-2-1=k-3
Agar bosh to’plam, masalan Puasson qonuniga ega deb gipoteza qilinayotgan bo’lsa, u holda bitta  parametr baholanadi va shu sababli ozodlik darajalari soni S=k-l-1=k-1-1=k-2
 ² kriteriyning qo’llash qoidasi quyidagicha ta’riflanadi:

Berilgan qiymatdorlik darajasida
^H ₀ bosh to’plam F(x) taqsimot

qonuniga ega degan gipotezani tekshirish uchun avval
keyin esa kriteriyning

 _кузат² _

np_i
nazariy chastotalarni,

kuzatilgan qiymatini hisoblash va ^{ 2}
taqsimotning kritik nuqtalari jadvalidan

kp


va S=k-l-1 ozodlik darajalari bo’yicha
^{2   , S }kritik nuqtani topish lozim.

Agar

Agar
2


кузат
² bo’lsa, gipotezani rad etishga asos yo’q.



kp

kp

 

• 
  
  

² bo’lsa, gipoteza rad qilinadi.

Shuni ta’kidlash joizki, 
- kriteriy faqat
n  
dagina taqsimot konuniga

ega, shuning uchun har bir ^i
oraliq kamida 5-10 ta variantani o’z ichiga olishi

lozim. Tanlanma hajmi ham etarlicha katta, har holda 50 dan kam bo’lmasligi lozim. Kam variantalari bor oraliqlarni birlashtirish kerak.

Endi  ² kriteriyni qo’llanishini quyidagi misolda ko’rib chiqamiz.

Tayyorlangan 100 dona detalning o’lchami tekshirilgan. Berilgan o’lchamdan tekshirilgan detallar o’lchamining chetlanishi quyidagi intervalli variatsion qator shaklida berilgan.

 i	(-3;-2]	(-2;-1]	(-1;0]	(0;1]	(1;2]	(2;3]	(3;4]	(4;5]
ni	3	10	15	24	26	13	7	3

Bu jadvalda eng chetki oraliqlar uchun ⁿ_i variantalar soni 5 dan kichik bo’lganligi

uchun ularni qo’shni oraliqlar bilan birlashtiramiz.

Birlashtirish natijasida quyidagicha jadvalni olamiz:

 i	(-3;-1]	(-1; 0]	(0;1]	(1;2]	(2;3]	(3;5]
ni	13	15	24	25	13	10

Berilgan α=0,01 qiymatdorlik darajasida detallarning proektdagi o’lchamdan chetlanishlari normal taqsimotga bo’ysunishi haqidagi N₀ gipotezani tekshirish talab qilinadi.

Oraliqlar -	(-3;-1)	(-1;0)	(0;1)	(1;2) ,	(2;3)	(3;5)
Empirik chastota	13	14	24	25	13	10
Nazariy chastota	14,64	12,26	24,67	21,19	12,26	6,38

Topilganlarni quyidagi jadvalga yozib olamiz va

^{ 2} - kuzatilgan qiymatini hisoblaymiz.

 _кузат² _ =

kp
^{ 2} kriteriyasining Oraliqlar soni, tanlanma bo’yicha ikkita parametr ^x va Demak, ozodlik darajalari soni S=k-l-1=6-3=3 ga teng.


S ² topildi, ya’ni l=2.
x ² taqsimotning kritik

nuqtalari jadvalidan berilgan =0,01 qiymatdorlik darajasida

 
kritik nuqtani topamiz.
²  0,01;3  11,3

5,53<11,3 ya’ni,
_ 2
кузат
 11,3
bo’lganligi uchun detal o’lchamlarining

kp
loyihadagi o’lchamdan chetlanishi normal taqsimotga ega ekanligi haqidagi N₀
gipotezani rad qilishga asos yo’q.


Erlang tarqatish uzluksiz ikki parametr oila sababi bor taqsimlash bilan qo'llab-quvvatlash {\ displaystyle x \ in [0, \ infty)}
x [0, ]. Ikkala parametr:

• 
  musbat tamsayı {\ displaystyle k,}k "shakl" va
  
• 
  ijobiy haqiqiy raqam {\ displaystyle \ lambda,} "stavka". "O'lchov",{\ displaystyle \ mu,}  stavkaning o'zaro aloqasi, ba'zan uning o'rniga ishlatiladi.
  

Shakl parametri bilan Erlang taqsimoti {\ displaystyle k = 1}k=1 eksponent tarqatishga soddalashtiradi . Bu gamma tarqalishining alohida hodisasidir . Bu summaning taqsimoti{\ displaystyle k} k o'rtacha o'rtacha mustaqil eksponent o'zgaruvchilar{\ displaystyle 1 / \ lambda} har biri.
Erlang taqsimoti AK Erlang tomonidan kommutatsiya stantsiyalari operatorlariga bir vaqtning o'zida qilinadigan telefon qo'ng'iroqlari sonini o'rganish uchun ishlab chiqilgan . Umuman olganda navbat tizimlarida kutish vaqtlarini hisobga olish uchun telefon trafigi muhandisligi bo'yicha ushbu ish kengaytirildi . Tarqatish stoxastik jarayonlar sohasida ham qo'llaniladi .

Xarakteristikasi

Ehtimollik zichligi funktsiyasi 

Ehtimollik zichligi funksiyasi Erlang tarqalishi bo'ladi
{\ displaystyle f (x; k, \ lambda) = {\ lambda ^ {k} x ^ {k-1} e ^ {- \ lambda x} \ over (k-1)!} \ quad {\ mbox { }} x, \ lambda \ geq 0,} uchun

Ehtimollar zichligi funktsiyasi



K parametri shakl parametri, parametr esa deyiladi{\ displaystyle \ lambda}  tezligi parametri deyiladi.

Muqobil, ammo ekvivalent parametrlashda o'lchov parametridan foydalaniladi {\ displaystyle \ mu} , bu parametr parametrining o'zaro bog'liqligi (ya'ni, {\ displaystyle \ mu = 1 / \ lambda}):
{\ displaystyle f (x; k, \ mu) = {\ frac {x ^ {k-1} e ^ {- {\ frac {x} {\ mu}}}} {\ mu ^ {k} (k -1)!}} \ Quad {\ mbox {for}} x, \ mu \ geq 0.}
Qachon o'lchov parametri {\ displaystyle \ mu} 2 ga teng, taqsimot x -kvadrat taqsimotga 2 k erkinlik darajasi bilan soddalashtiradi . Shuning uchun uni erkinlik darajalarining juft sonlari uchun umumiy xi-kvadrat taqsimot deb hisoblash mumkin .

Kamutiv tarqalish funksiyasi

Yig'indidan tarqatish vazifasi Erlang tarqalishi bo'ladi
{\ displaystyle F (x; k, \ lambda) = P (k, \ lambda x) = {\ frac {\ gamma (k, \ lambda x)} {(k-1)!}},}

Kamutiv taqsimlash funktsiyasi

qayerda {\ displaystyle \ gamma} pastki to'liq bo'lmagan gamma funktsiyasi va{\ displaystyle P} P bo'lgan pastki regularized gamma funktsiyasi . CDF shuningdek quyidagicha ifodalanishi mumkin


Erlang taqsimotining medianasida assimptotik kengayish ma'lum, bu koeffitsientlarni hisoblash va chegaralar ma'lum bo'lishi mumkin. Yaqinlashish quyidagicha{\ displaystyle {\ frac {k} {\ lambda}} \ chap (1 - {\ dfrac {1} {3k + 0.2}} \ o'ng),}  ya'ni o'rtacha qiymatdan pastroq
{\ displaystyle {\ frac {k} {\ lambda}}.}

Erlang tomonidan taqsimlangan tasodifiy parametrlarni yaratish 

Erlang-taqsimlangan tasodifiy miqdorlar bir xil taqsimlangan tasodifiy sonlardan hosil bo'lishi mumkin ({\ displaystyle U \ in (0,1]}U ) quyidagi formuladan foydalangan holda: 

Kutish vaqti 

Mustaqil ravishda sodir bo'ladigan hodisalar o'rtacha tezligi bilan Puasson jarayoni bilan modellashtirilgan . Tadbirning k hodisalari orasidagi kutish vaqtlari taqsimlanadi. (Muayyan vaqtdagi voqealar soni bilan bog'liq savol Puasson taqsimoti bilan tavsiflanadi .)
Kiruvchi qo'ng'iroqlar orasidagi vaqtni o'lchaydigan Erlang taqsimoti kiruvchi qo'ng'iroqlarning kutilayotgan davomiyligi bilan birgalikda erlanglarda o'lchangan trafik yuki to'g'risida ma'lumot olish uchun ishlatilishi mumkin. Bloklangan qo'ng'iroqlar bekor qilinganligi (Erlang B formulasi) yoki xizmat ko'rsatilgunga qadar navbatda turishi (Erlang C formulasi) to'g'risida turli xil taxminlarga binoan, paket yo'qolishi yoki kechikishi ehtimolini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin. Erlang-B va C formulalari kabi dizayni kabi amaliy dasturlar uchun transport modellashtirish uchun kundalik foydalanishda hali ham qo'ng'iroq markazlari .

Saraton kasalligining yoshga taqsimlanishi ko'pincha Erlang tarqalishidan keyin kuzatiladi , shakli va ko'lami parametrlari navbati bilan haydovchi hodisalarining soni va ular orasidagi vaqt oralig'ini taxmin qiladi. Umuman olganda, Erlang taqsimoti ko'p bosqichli modellar natijasida hujayra tsikli vaqt taqsimotining yaxshi yaqinlashishi deb taklif qilingan.

Shuningdek, u biznes iqtisodiyotida sotib olish vaqtlarini tavsiflash uchun ishlatilgan.

Erlang taqsimoti bu k har birining eksponent taqsimotiga ega bo'lgan mustaqil va bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisini taqsimlash . Voqealar sodir bo'ladigan uzoq muddatli ko'rsatkich kutishning o'zaro bog'liqligi{\ displaystyle X,} X anavi,  {\ displaystyle \ lambda / k.}  Erlang taqsimotining (yoshga xos hodisa) darajasi, uchun {\ displaystyle k> 1,} k>1  monotonik {\ displaystyle x,}x,0 dan ko'tarilib {\ displaystyle x = 0,}x=0  ga {\ displaystyle \ lambda}  kabi {\ displaystyle x}x cheksizlikka intiladi. 



Xulosa
Men ushbu mavzuni yoritish mobaynida Pirsonning muvofiqlik kritersiyasi, Elrang qoidasi va Komutativ tarqalish funksiyalari bilan tanishib chiqdim.

Men mazkur mustaqil ishni bajarish asosida quyidagi ishlar bajarildi:

• 
  Bosh to’plamning taqsimot qonuni haqidagi gipoteza haqida ma’lumot keltirildi.
  
• 
  Pirsonning muvofiqlik kritersiyasi haqida ma’lumot keltirildi.
  
• 
  Elrang qoidasi haqida ma’lumot keltirildi.
  
• 
  Komutativ tarqalish funksiyasi haqida ma’lumot keltirildi.
  

Foydalanilgan adabiyotlar:

1. 
   Gmurman V.E. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statistika. Izdanie sedmoe. – M.: Visshaya shkola, 1999.
   
2. 
   Kremer N.Sh. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statistika. – M.: 2001 g.
   
3. 
   Kolemaev V.A., Kalinina V.N. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statistika. – M.: Infra-M, 1997.
   
4. 
   Kolemaev V.A. i dr. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statistika. – M.: 1991.
   
5. 
   Soatov g’.U. Oliy matematika kursi. II qism. – T.: O’qituvchi, 1994.
   
6. 
   Mamurov E.N., Adirov T.X. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistikadan ma’ruzalar matni. – T.: TMI 2001.
   
7. 
   Adirov T.X., Hamdamov I.M. “Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika”dan masalalar to’plami va ularni echishga doir uslubiy ko’rsatmalar. – T.: TMI, 2003.
   

Qo’shimcha adabiyotlar:

1. 
   Zamkov O.O., Tolstopyatenko A.V., Cheremnix Yu.N. Matematicheskie metodi v ekonomike. – M.: Izd. DIS, 1998.
   
2. 
   Spravochnik po matematike dlya ekonomistov. / Pod redaktsiey prof. Ermakova. – M.: Visshaya shkola, 1997.
   
3. 
   Eddous M., Stensfild R. Metodi prinyatiya resheniya. – M.: Audit, 1997.
   
4. 
   Zaytsev I.A. Visshaya matematika. – M.: Visshaya shkola, 1998.