|
1.3 Birlashmalar
Ta’rif. Turli to’plam elementlaridan tuzilgan kombinasiyalarga birlashmalar deyiladi.
Hodisaning ehtimolini hisoblash uchun zarur bo’lgan birlashmalarni qaraymiz.
1. O’rin almashtirishlar. ta har xil elementlardan tuzilgan o’rin almashtirishlar deb, biri -biridan faqat elementlarining o’rinlari
bilan farq qiladigan birlashmalarga aytiladi. Ularning soni quyidagicha aniqlanadi:
bu yerda
Keyinchalik qarama-qarshilikka duch kelmaslik uchun 0! = 1 deb qabul qilamiz.
Misol: Uchta A, B, C elementlardan tuzilgan o’rin almashtirishlar soni topilsin.
Yechish. Ta’rifga asosan A, B, C elementlardan faqat o’rinlari bilan farq qiladigan birlashmalar tuzamiz, ya’ni
Demak, uchta elementdan tuzilgan o’rin almashtirishlar soni 6 ta ekan. Buni formula orqali hisoblasak ham bo’ladi:
2. O’rinlashtirishlar. ta har xil elementlardan tadan tuzilgan o’rinlashtirishlar deb, bir-biridan elementlari bilan hamda elementlarining o’rinlari bilan farq qiladigan birlashmalarga aytiladi. Ularning soni qo’yidagicha aniqlanadi:
.
Misol: Uchta elementlardan ikkitadan tuzilgan o’rinlashtirishlar soni topilsin.
Yechish. Ta’rifga asosan bir-biridan elementlari hamda elementlari-ning o’rinlari bilan farq qiladigan birlashmalar tuzamiz, ya’ni
Demak, ularning soni 6 ta ekan. Agar buni formulada hisoblasak:
.
Xulosa. Agar ta elementdan tadan tuzilgan o’rinlashtirishlarda bir xil elementlar takrorlansa, u holda n ta elementdan k tadan tuzilgan o’rinlashtirishlar soni qo’yidagi formula bilan hisoblanadi.
Masalan, 0, 1, 2, ... 9 raqamlardan tuzilgan besh xonali sonlar soni ga teng bo’ladi (bu yerda 00000 ham besh xonali son).
3. Gruppalashlar. ta har xil elementlardan tadan tuzilgan gruppalashlar deb, bir-biridan faqat elementlari bilan farq qiladigan birlashmalarga aytiladi. Ularning soni qo’yidagicha topiladi:
Gruppalashlarda agar bo’lsa, tenglikdan foydalaniladi.
Misol. To’rtta elementlardan ikkitadan tuzilgan gruppalashlar soni topilsin.
Yechish. Ta’rifga asosan 4 ta elementdan 2 tadan bir-biridan hyech bo’lmasa bitta elementi bilan farq qiladigan birlashmalar tuzamiz:
.
Buni formula bilan hisoblasak:
Agar birlashmalarda elementlar soni ko’p bo’lsa, uni oddiy yo’l bilan hisoblash qiyin, lekin formula bilan hisoblash oson. Biz ko’rgan birlashmalar o’zaro qo’yidagicha bog’lanishga ega:
.
1.4 Ehtimolning klassik ta’rifi
Mulohazani misoldan boshlaylik. Skladda 7 ta rangli televizorlar bo’lib, shulardan 5 tasi yaroqli va 2 tasi yaroqsiz bo’lsin. Hamma televizorlar yaxshilab o’ralgan bo’lib, qaysilari yaroqsizligi ma’lum emas. Ma’lumki, tasodifiy olingan televizorni yaroqli chiqish imkoniyati yaroqsiz chiqish imkoniyatidan kattaroq. Bizning maqsadimiz, shu imkoniyatni soniy baholashdan iborat. A - hodisa, tasodifiy olingan televizorni yaroqli chiqishini bildirsin. Har bir tajribaning natijasi elementar hodisani tashkil etadi. Elementar hodisalarni harflar bilan belgilaylik. Bizning misolimizda elementar hodisalar soni 7 ta, ya’ni - yaroqli televizorlar chiqishi va - yaroqsiz televizorlar chiqishi. Bizni qiziqtirayotgan hodisalarga sharoit yaratuvchi hodisalar deyiladi. Yuqoridagi misolda ularning soni 5 ta ( ). Agar sharoit yaratuvchi hodisalar soni 5 ni, hamma elementar hodisalar soni 7 ga nisbatini olsak, 5/7 nisbat tasodifiy olingan bitta televizorni yaroqli chiqish ehtimolini beradi.
Ta’rif. A hodisaning ehtimoli deb, shu hodisaning ro’y berishiga sharoit yaratuvchi hodisalar sonini hamma mumkin bo’lgan elementar hodisalar soniga nisbatiga aytiladi va qo’yidagicha belgilanadi:
bu yerda - A hodisaning ro’y berishiga sharoit yaratuvchi hodisalar soni, - hamma mumkin bo’lgan elementar hodisalar soni. Bu ta’rifdan quyidagi xossalar kelib chiqadi:
1-xossa. Ishonchli xodisaning ehtimoli birga teng:
.
Haqiqatan ham, agar hodisa ishonchli bo’lsa, u har bir sinashda albatta ro’y beradi, ya’ni sinashlar soni bilan ro’y berishlar soni teng bo’ladi. Hamma ishonchli hodisalarni bilan belgilaymiz. U holda
.
2-xossa. Ishonchsiz hodisaning ehtimoli nolga teng:
.
Haqiqatdan, agar hodisa ishonchsiz bo’lsa, u hyech bir sinashda ro’y bermaydi, ya’ni sharoit yaratuvchi hodisalar soni bo’ladi. Agar ishonchsiz hodisalarni bilan belgilasak, u holda
.
3-xossa. Tasodifiy hodisaning ehtimoli nol va bir oralig’idagi songa teng:
.
Haqiqatdan, agar hodisa tasodifiy bo’lsa, uning ro’y berishiga hamma elementar hodisalardan faqat bir qismi sharoit yaratadi, ya’ni bo’ladi. Bu ikkilangan tengsizlikni ga bo’lsak,
yoki 0 < < 1.
Ta’rifga asosan hodisani ro’y berish ehtimoli, demak
.
Shunday qilib, hodisaning ehtimoli quyidagi ikkilangan tengsizlikni qanoatlantiradi:
.
Demak, agar hodisaning ehtimoli nolga teng bo’lsa, hodisa ishonchsiz, agar birga teng bo’lsa, hodisa ishonchli, agar nol bilan bir oralig’ida bo’lsa, tasodifiy bo’ladi. Agar tasodifiy hodisaning ehtimoli nolga yaqin bo’lsa, hodisa juda ham kam ro’y beradi, agar birga yaqin bo’lsa hodisa tez-tez ro’y beradi. Shunday qilib, hodisaning ehtimoli uning ro’y berish darajasini ko’rsatadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
