Mavzu: Darajali qatorlar

Binomial qatorlar
m=1/2 bo’lganda

m=-1/2 bo’lganda:
(6)
Binom yoyilmasini boshqa funktsiyalarning yoyilmasiga tadbiq etamiz:
(x)=arcsinx funktsiyani Маkloren qatoriga yoyamiz. (6) tenglikdagi х o’rniga -х² ifodani qo’ysak:

|x|<1 bo’lganda, darajali qatorlarni integrallash haqidagi teoremaga asosan quyidagini hosil qilamiz:

Bu qator (‑1; 1) оraliqda yaqinlashadi. Qator х=1 bo’lganda ham yaqinlashishini vа bu qiymatlar uchun qatorning yig’indisi arcsinx gа tengligini isbot qilish mumkin. U vaqtda х=1 deb olib, ? ni hisoblashning quyidagi formulasini hosil qilamiz:
arcsin1=
FUNKTSIONAL QATORLAR
Qatorning hadlari x o`zgaruvchining funktsiyalari bo`lib, bu funktsiyalar ketma – ketligi U₁ (x), U ₂ (x), …, U _p (x),… ko`rinishda berilgan bo`lsin.
1–ta`rif: Quyidagi ko`rinishli
(1)
ifodaga funktsional qator deyiladi.
Agar (1)–qatordagi x lar o`rniga x<sub>0</sub> sonlar qo`yilsa, quyidagi sonli qator hosil bo`ladi:
(2)
2–ta`rif: Agar (2)–sonli qator yaqinlashuvchi bo`lsa, (1)–funktsional qator-ga x<sub>0</sub> nuqtada yaqinlashuvchi qator deyiladi. Bunda x<sub>0</sub> nuqta (1) qatorning yaqinlashish nuqtasi deb ataladi.
1-misol.
qatorning nuqtada yaqinlashishini va x =2 nuqtada uzoqlashuvchi ekanligini tekshiring.
Yechilishi: ni berilgan qatordagi x larning o`rniga qo`yib, quyidagi sonli qatorni hosil qilamiz:

Bu qator yaqinlashuvchi ekanligi bizga ma`lum. Endi x larning o`rniga x=2 ni qo`yib, quyidagi uzoqlashuvchi qatorga ega bo`lamiz:

Demak, berilgan qator ham ta`rifga asosan nuqtada yaqinlashuvchi va x=2 nuqtada uzoqlashuvchi ekan.