Mavzu: darajali qatorlar. Qabul qiluvchi: tursunov bekzodbek

Ba’zi funktsiyalarni Makloren qatoriga yoyish

1) (x)=sinx bo’lsin. Bu funktsiyani Makloren qatoriga yoyamiz. Ma’lumki

bo’lgani uchun bu formuladan quyidagi qator hosil bo’ladi

(1)

Bu qatordan x turli qiymatlar olganda sinx ning qiymatlarini hisoblash uchun foydalaniladi.

Masalan, sin 10⁰ ni 10^-5 gacha aniqlik bilan hisoblaylik. 10⁰ yoki, radian hisobida, bo’lgani uchun,

Agar birinchi ikkita had bilan chegaralansak hosil bo’ladi. Bu yerda birinchi to’rtta raqam to’g’ridir.

2) Xuddi shuning kabi (x)=e^x uchun quyidagini hosil qilish mumkin.

(2)

hamda

(3)

Xuddi shuning kabi (x)=cosx funktsiya uchun

(x)=(1+x)^m funktsiyani qaraymiz. Bu yerda m‑ixtiyoriy o’zgarmas son.

Bu funktsiya (1+x) '(x)=m (x) (4) differentsial tenglamani va (0)=1 boshlang’ich shartni qanoatlantiradi.

F(x)=1+a₁x+a₂x²+. . .a_nxⁿ+. . . (5) darajali qatorni yozish

mumkin. Buni (4) tenglamaga qo’ysak,

(1+x))(a₁+2a₂x+3a₃x²+ . . .+na_nx^n-1+. . .)=m(1+a₁x+a₂x²+. . .+a_nxⁿ+. . .) hosil bo’ladi.

Tenglikning turli qismlaridagi bir xil darajali x larning koeffitsiyentlarini tenglab, quyidagilarni topamiz:

a₁=m, a₁+2a₂=ma₁,...,na_n+(n+1)a_n+1=ma_n,...

bulardan

a₀=1, a₁=m,

Bular binomial koeffitsientlardir. Ularni (5) formulaga šœysak:

bu erda

Shunday qilib, (7) qator |x|<1 bo’lganda yaqinlashadi.

Demak,

(8)

jumladan m=-1 bo’lganda:

(9)

(10)

hosil qilish mumkin.