Mavzu: darajali qatorlar. Qabul qiluvchi: tursunov bekzodbek

1-teorema (Abel). Agar

darajali qator nuqtada yaqinlashuvchi bo‘lsa, ushbu

tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha larda darajali qator yaqinlashuvchi (absolyut yaqinlashuvchi) bo‘ladi.

◄Aytaylik, da

qator yaqinlashuvchi bo‘lsin. Qator yaqinlashishining zaruriy shartiga ko‘ra

bo‘ladi. Demak, ketma-ketlik chegaralangan:

da .

Ravshanki,

3)

va da bo‘ladi. Demak geometrik qator yaqinlashuvchi. Unda ushbu

qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. (3) munosabatni e’tiborga olib, so‘ng solishtirish teoremasidan foydalanib

darajali qatorning yaqinlashishini (absolyut yaqinlashi-shini) topamiz.►

Natija. Agar

darajali qator nuqtada uzoqlashuvchi ( ushbu

sonli qator uzoqlashuvchi) bo‘lsa, quyidagi

tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha larda qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.

◄Teskarisini faraz qilaylik, qator tengsizlikni qanoatlantiruvchi biror nuqtada yaqinlashuvchi bo‘lsin. U holda Abel teoremasiga ko‘ra tengsizlikning qanotalantiruvchi barcha larda yaqinla-shuvchi, jumladan nuqtada ham yaqinlashuvchi bo‘lib qoladi. Bu esa shartga ziddir.►

Abel teoremasi va uning natijasi darajali qator-larning yaqinlashish (uzoqlashish) to‘plamining struktura-sini (tuzilishini) aniqlab beradi.

DARAJALI QATORNING YAQINLASHISH RADIUSI VA YAQILASHISH INTERVALI

Faraz qilaylik,

darajali qator berilgan bo‘lsin. Bu qatorning yaqinlashish yoki uzoqlashish nuqtalari haqida quyidagi uch hol bo‘lishi mumkin:

1. 
   barcha musbat sonlar qatorning yaqinlashish nuqtalari bo‘ladi;
   
2. 
   barcha musbat sonlar qatorning uzoqlashish nuqtalari bo‘ladi;
   
3. 
   shunday musbat sonlar borki, ular qatorning yaqinlashish nuqtalari bo‘ladi, shunday musbat sonlar borki, ular qatorning uzoqlashish nuqtalari bo‘ladi.
   

Birinchi holda, Abel teoremasiga ko‘ra darajali qator barcha da yaqinlashuvchi bo‘lib, darajali qatorning yaqinlashish to‘plami bo‘ladi. Bunday qatorga ushbu

darajali qator misol bo‘ladi.

Ikkinchi holda, Abel teoremasining natijasiga ko‘ra darajali qator barcha da uzoqlashuvchi bo‘lib, uning yaqinlashish to‘plami bo‘ladi. Bunday qatorga ushbu

darajali qator misol bo‘laoladi.

Endi uchinchi holni qaraymiz. Bu holga ushbu

darajali qator misol bo‘ladi. Bu darajali qator barcha da yaqinlashuvchi va demak, Abel teoremasiga ko‘ra qator da yaqinlashadi, barcha da qator uzoqlashuvchi va demak, Abel teoremasining natijasiga ko‘ra qator da uzoqlashadi. Demak, darajali qatorning yaqinlashish to‘plami bo‘ladi.

Aytaylik,

darajali qator nuqtada yaqinlashuvchi, nuqtada nuqtada esa uzoqlashuvchi bo‘lsin. Ravshanki,

bo‘ladi.

Agar darajali qator

nuqtada yaqinlashuvchi bo‘lsa,

deb, uzoqlashuvchi bo‘lsa,

deb va nuqtalarni olamiz. Ravshanki,

va

bo‘ladi. Bu munosabatdagi va sonlarga ko‘ra va sonlarni yuqoridagiga o‘xshash aniqlaymiz:

Agar darajali qator

nuqtada yaqinlashuvchi bo‘lsa,

deb, uzoqlashuvchi bo‘lsa,

deb va nuqtalarni olamiz. Bunda

va

bo‘ladi.

Bu jarayonni davom ettiraborish natijasida darajali qatorning yaqinlashish nuqtalaridan iborat , uzoqlashish nuqtalaridan iborat ketma-ketliklar hosil bo‘ladi. Bunda

va da

bo‘ladi. Unda [1], 3-bob, 8-§ da keltirilgan teoremaga ko‘ra va limitlar mavjud va

bo‘ladi. Uni bilan belgilaymiz:

.

Endi o‘zgaruvchining tengsizlikni qanoatlan-tiruvchi ixtiyoriy qiymatini olaylik. Unda

bo‘lishidan, shunday topiladiki,

bo‘ladi. Binobarin, berilgan darajali qator nuqtada, demak qaralayotgan nuqtada yaqinlashuvchi bo‘ladi.

o‘zgaruvchining tenglikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy qiymatini olaylik. Unda

bo‘lishidan, shunday topiladiki,

bo‘ladi. Binobarin, berilgan darajali qator nuqtada, demak qaralayotgan nuqtada uzoqlashuvchi bo‘ladi.

Demak, 3)-holda darajali qator uchun shunday musbat soni mavjud bo‘ladiki, , ya’ni da qator yaqinlashuvchi, , ya’ni da qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. nuqtalarda darajali qator yaqinlashuvchi ham bo‘lishi mumkin, uzoqlashuvchi ham bo‘lishi mumkin.

1-ta’rif. YUqorida keltirilgan son darajali qatorning yaqinlashish radiusi, interval esa darajali qatorning yaqinlashish intervali deyiladi.