Mavzu: Bo‘laklashlar kombinatorikasi

4- teorema. Ixtiyoriy natural sonni ta natural qo‘shiluvchilarga bo‘laklashlar soni shu sonning eng katta qo‘shiluvchisi ga teng bo‘lgan bo‘laklanishlari soniga teng.
Isboti. Ferrers diagrammasining transpozitsiyasi tushunchasi yordamida natural sonning ta natural qo‘shiluvchilarga bo‘laklanishlari va shu sonining eng katta qo‘shiluvchisi ga teng bo‘lgan bo‘laklanishlari orasida bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkin. Bu bir qiymatli moslikka ko‘ra teoremaning nasdig‘i to‘g‘ridir. ■


2- jadval

8 sonining 3ta qo‘shiluvchili bo‘laklanishlari	8 sonining eng katta qo‘shiluvchisi 3ga teng bo‘laklanishlari
6+1+1	3+1+1+1+1+1
5+2+1	3+2+1+1+1
4+3+1	3+2+2+1
4+2+2	3+3+1+1
3+3+2	3+3+2

7- misol. 3- misoldan ma’lumki, 8 uchun uchta qo‘shiluvchili beshta bo‘laklash mavjud, bu son uchun qo‘shiluvchilarning eng kattasi uchga teng bo‘lgan bo‘laklashlar ham beshtadir. 2- jadvalda bu bo‘laklashlar bir-biriga mos ravishda ikki ustun qilib keltirilgan.
5- teorema. Ixtiyoriy natural sonning hech bir qo‘shiluvchisi dan oshmaydigan bo‘laklanishlari soni ( ) sonining ta qo‘shiluvchilarga bo‘laklanishlar soniga teng.
Isboti. Birinchidan, shuni ta’kidlash lozimki, Ferrers diagrammasining transpozitsiyasi sonning hech bir qo‘shiluvchisi dan oshmaydigan bo‘laklanishlari bilan shu sonning tadan oshmaydigan qo‘shiluvchilarga bo‘laklanishlari orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatadi. Bu bir qiymatli moslik asosida sonning hech bir qo‘shiluvchisi dan oshmaydigan barcha bo‘laklanishlari soni shu sonning tadan oshmaydigan qo‘shiluvchilarga bo‘laklanishlari soniga teng deb xulosa qilish mumkin.
Ikkinchi tomondan, sonning tadan oshmaydigan qo‘shiluvchilarga bo‘laklanishiga mos Ferrers diagrammasi ta nuqtadan tashkil topgan bo‘lib, ular tadan oshmaydigan qatorlarda joylashgan bo‘ladi. Bunday diagrammalarning har biriga ta nuqtadan tuzilgan ustunni chap tomondan joylashtirsak, ta qatorga va ( )ta nuqtali diagrammaga ega bo‘lamiz. Aksincha, ( )ta nuqtali har bir Ferrers diagrammasidan ta qatorga ega birinchi ustunni olib tashlasak, ta nuqtadan tashkil topgan va qatorlari soni tadan ko‘p bo‘lmagan diagrammani hosil qilamiz.
Ko‘rsatilgan bu ikki turdagi diagrammalar orasidagi o‘zaro bir qiymatli moslik sonni qo‘shiluvchilari tadan oshmaydigan bo‘laklashlar soni ifodaga tengligini tasdiqlaydi. ■