Mavzu: Bo‘laklashlar kombinatorikasi

3- misol. 8 uchun barcha bo‘laklashlar 1- jadvalda ifodalangan. Jadvaldan ko‘rinib turibdiki, 8 uchun, hammasi bo‘lib, 22 bo‘laklash imkoniyati bor:
. ■
Albatta, yuqorida keltirilgan formula yordamida ixtiyory natural uchun uning barcha bo‘laklanishlari sonini aniqlash mumkin. Lekin yetarlicha katta qiymatga ega bo‘lganda bu formuladan foydalanish juda ko‘p hisoblashlar bajarishni taqozo qiladi. Ushbu bobning navbatdagi 7- paragrafida ning qiymatini hisoblash uchun boshqacha yo‘l borligi ko‘rsatilgan.


1- jadval

Qo‘shi-luvchilar soni	Bo‘laklanishlar	Bo‘laklanishlar soni
1	8=8
2	8=7+1=6+2=5+3=4+4
3	8=6+1+1=5+2+1=4+3+1= =4+2+2=3+3+2
4	8=5+1+1+1=4+2+1+1=3+3+1+1= =3+2+2+1=2+2+2+2
5	8=4+1+1+1+1=3+2+1+1+1= =2+2+2+1+1
6	8=3+1+1+1+1+1=2+2+1+1+1+1
7	8=2+1+1+1+1+1+1
8	8=1+1+1+1+1+1+1+1

2. Ferrers² diagrammasi. Natural son ta natural qo‘shiluvchilarnung yig‘indisi qilib bo‘laklangan bo‘lsin.
2- ta’rif. ta qatordan tashkil topgan va (yuqoridan pastga qarab hisoblaganda) - qatorida ta nuqtaga ega bo‘lgan diagramma sonni ta natural qo‘shiluvchilarnung yig‘indisi qilib bo‘laklashga mos Ferrers diagrammasi deb ataladi.
Ferrers diagrammasi tushunchasiga asoslangan diagrammali usul deb yuritiluvchi usul sonlarni qo‘shiluvchilar yig‘indisi qilib bo‘laklash masalalarini tahlil qilishda keng qo‘llaniladi.
Bo‘laklashda qo‘shiluvchilar tartibi e’tiborga olinmaganligi sababli Ferrers diagrammasini tuzishda, odatda, uning qatorlaridagi nuqtalar soni yuqoridan pastga qarab o‘smaydigan, ya’ni shart bajariladigan (yoki, kamaymaydigan ya’ni shart bajariladigan) tartibga rioya qilinadi. Bundan tashqari, qatorlardagi nuqtalar diagrammaning vertikal ustunlarini tashkil etadigan qilib tuziladi.
3- ta’rif. Shunday tartibda tuzilgan diagramma normal Ferrers diagrammasi deb ataladi.
4- misol. 14=5+3+2+2+1+1 bo‘laklashga 1- shaklda tasvirlangan Ferrers diagrammasi mos keladi. Bu diagramma normal Ferrers diagrammasidir. ■
Ixtiyoriy bo‘laklashga mos keluvchi normal Ferrers diagrammasining qatorlarini ustun, ustunlarini esa qator qilib o‘zgartirilsa (ya’ni diagramma trasponirlansa), tabiiyki, yana normal Ferrers diagrammasi hosil bo‘ladi.
4- ta’rif. Bu hosil bo‘lgan diagrammaga dastlabki diagrammaning transpozitsiyasi (yoki ikkilanma diagrammasi) deb ataladi.
Normal Ferrers diagrammasining transpozitsiyasi natijasida hosil bo‘lgan ikkilanma diagramma transponirlansa dastlabki diagramma hosil bo‘lisi ravshandir. Demak, istalgan son uchun tuzilgan barcha diagrammalarni o‘zaro ikkilanma bo‘lgan diagrammalar juftlariga ajratish mumkin. Shuni e’tiborga olish kerakki, ba’zi diagrammalar o‘z-o‘ziga ikkilanma bo‘ladi, shuning uchun ular ikkita bir xil diagrammalar juftini tashkil etadi deb hisoblash mumkin.
Ikkilanma diagrammalarni qo‘shma diagrammalar deb, ularga mos keluvchi bo‘laklashlarni esa qo‘shma bo‘laklashlar deb ham ataydilar.