Mavzu. Birinchi tartibli differensial tenglamalar reja

Teorema. Agar nuqtani o’z ichiga olgan sohada funksiya va xususiy hosila uzluksiz bo’lsa, u holda differensial tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yechimi mavjud va yagona bo’ladi.
Bu teorema Koshi masalasi yechimga ega bo’lishining yetarli shartlarini belgilaydi va geometrik jihatdan teoremaning shartlari bajariladigan har bir nuqta orqali yagona integral egri chiziq o’tishini bildiradi.
Teoremaning shartlari buziladigan nuqtalar maxsus nuqtalar deyiladi. Maxsus nuqtalar orqali yoki birorta ham integral egri chiziq o’tmasligi yoki bir nechta
integral egri chiziq o’tishi mumkin.
Differensial tenglamalarni yechishning yagona usuli mavjud emas. Shu sababli kvadraturada integrallanuvchi deb ataladigan tenglamalardan ayrimlari bilan tanishamiz.
Umumiy yechimi chekli sondagi elementar almashtirishlar va kvadraturalar (elementar funksiyalarni integrallashlar) natijasida topiladigan birinchi tartibli differensial tenglamaga kvadraturada integrllanuvchi differensial tenglama
deyiladi.
O’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar ⁵
Ushbu
(1.3)
ko’rinishdagi tenglamaga o’zgaruvchilari ajralgan differensial tenglama deyiladi.
Uning o’ziga xos tomoni shundaki, tenglamada oldida faqat ga bog’liq ko’paytuvchi va oldida faqat ga bog’liq ko’paytuvchi turadi.
Tenglamaning umumiy yechimini uni hadma-had integrallash orqali topamiz:

1-misol. Koshi masalasini yeching:
,
Yechish. O’zgaruvchilari ajralgan differensial tenglama berilgan. Uni hadma-had integrallaymiz:
.
Bundan tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
yoki .
Koshi masalasini yechish uchun tenglamaning umumiy yechimidan
shartni qanoatlantiruvchi ni aniqlaymiz:
,
Demak, Koshi masalasining yechimi
.
Ushbu
, (1.4)
(1.5)
tenglamalarga o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar deyiladi.
(1.4) tenglamani ifodaga hadma-had bo’lamiz va uni o’zgaruvchilari ajralgan tenglamaga keltiramiz:
.
Bu tenglamaning integrali (1.4) tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.
(1.4) tenglamani ifodaga hadma-had bo’lishda ayrim yechimlar tushib qolishi mumkin. Shu sababli bunda tenglama
alohida yechilishi va bu yechimlar orasidan maxsus yechimlar ajratilishi kerak.
2-misol. Koshi masalasini yeching:

Yechish. o’rniga qo’yish bajaramiz va tenglamaning chap va o’ng tomonini ga ko’paytiramiz:

Tenglamani ga bo’lamiz:
.
Tenglamani integrallaymiz:
.
Bundan
bu yerda
yoki
.
o’zgarmasning qiymatini boshlang’ich shartdan aniqlaymiz:
, .
Demak, berilgan Koshi masalasining yechimi
.
(1.5) tenglamada o’rniga qo’yish orqali
,
tenglamani hosil qilamiz. Bundan
.
ko’rinishdagi integrallar (bu yerda sonlar) almashtirish yordamida o’zgaruvchilari almashadigan tenglamaga keltiriladi.
ni bo’yicha differensiallaymiz:

Bundan

tenglama kelib chiqadi. Bu tenglamani integrallaymiz:

Hosil bo’lgan ifodada ni bilan almashtirib, berilgan
tenglamaning umumiy yechimini topamiz.