Mavzu: bir o’zgaruvchili funksiyalarning yuqori tartibli hosilalari reja I. Kirish

Funksiyaning to‘liq differensiali

funksiya nuqtada diferrensiallanuvchi bo’lsin.

3-ta’rif. to‘liq orttirmaning larga nisbatan chiziqli bo‘lgan boshqismi ga funksiyaning nuqtadagi to‘liq differensiali deyiladi va u bilan belgilanadi.

Demak, ta’rifga ko‘ra yoki 2-teoremaga binoan

Shunday qilib, funksiyaning to‘liq differensiali xususiy hosilalarning mos argumentlar orttirmasiga ko‘paytmasining yig‘indisiga teng.

To‘liq differensialni argumentlarning orttirmalari va diferrensiallarining tengligi ni hisobga olib, quyidagicha yozish mumkin:

(2)

yoki

bu yerda funksiyaning

nuqtadagi xususiy differensiallari.

Masalan. funksiyalarning xususiy va to‘liq differensiallarini topamiz. Buning uchun avvalfunksiyaning xususiy hosilalarni aniqlaymiz:

.

U holda

Ko‘pchilik masalalarni yechishda funksiyaning

nuqtadagi to‘liq orttirmasi funksiyaning shu nuqtadagi to‘liq differensialiga

taqriban tenglashtiriladi, ya’ni deb olinadi.

Demak,

yoki

. (3)
(3) taqribiy tenglikka funksiyani nuqta atrofida chiziqlashtirish deyiladi. Bunda qandaydir kattalikning taqribiy qiymatini hisoblash quyidagi tartibda amalga oshiriladi:


. Ani biror funksiyaning nuqtadagi qiymatiga tenglashtiriladi, ya’ni deb olinadi;

. nuqta nuqtaga yaqin va ni hisoblash qulay qilib tanlanadi;

. hisoblanadi;

. lar topilib, lar hisoblanadi;

. qiymatlar (2.3) formulaga

qo‘yiladi.

Masalan. ni taqribiy hisoblaymiz.

. , deymiz.

U holda ,

. , ya’ni deb olamiz;

.

.

;

.