Mavzu: bir jinsli sistemalar. Yechimlarning fundamental sistemalari

 

bu yerda koeffitsientlar noldan farqli. (2) sistema hamjoyli va (1) tenglamalar sistemasiga teng kuchli.

(2) pog’onasimon sistemadan elementar almashtirishlar yordamida quyidagi pog’onasimon tenglamalar sistemasiga o’tamiz:

(3) sistema hamjoyli va dastlabki (1) tenglamalar sistemasiga teng kuchli. Agar bunda r = n bo’lsa, (3) tenglamalar sistemasi (va (1) sistema ham) yagona (δ1,δ2, ... , δn) yechimga ega bo’ladi. Agar r(A) = r(B) < n bo’lsa, u holda (3) sistema

sistemaga teng kuchli. (4) tenglamalar sistemasi asosiy o’zgaruvchilar deb ataluvchi x1, x2, … , xr o’zgaruvchilarni erkli o’zgaruvchilar deb ataluvchi xr+1, … , xn o’zgaruvchilar orqali ifodalanishini yaqqol ko’rsatadi. (4) dagi erkli o’zgaruvchilarga skalyarlar maydonidan olingan ixtiyoriy qiymatlarni berib, asosiy o’zgaruvchilarning ularga mos qiymatlarini topamiz. Shunday qilib, (4) sistema (1) sistemaga teng kuchli bo’lganligi uchun (1) sistemaning ixtiyoriy xususiy yechimini topish mumkin. Shuning uchun

(γ1r+1xr+1 + … + γ1nxn + δ1, … , γrr+1xr+1 + … + γrnxn + δr , xr+1 , …, xn ) (5)

vektor (1) tenglamalar sistemasining umumiy yechimi deyiladi.

(5)vektorni xr+1Cr+1 + … + xnCn + δ (6) ko’rinishda yozish mumkin, bu yerda Cr+1, … , Cn ∈ Fn va δ = (δ1, …, δr, 0, 0, …, 0) – (1) ning xususiy yechimi. (6) vektor ham (1) sistemaning umumiy yechimi deyiladi. Cr+1, … , Cn vektorlar sistemasining (1) sistemaga assotsirlangan bir jinsli vektorlar sistemasining fundamental sistemasini tashkil etishini ko’rish qiyin emas.{ xr+1Cr+1 + … + xnCn + δ | xr+1, … , xn ∈ F} to’plam (1) tenglamalar sistemasining barcha yechimlar to’plami deyiladi. Berilgan (1) chiziqli tenglamalar sistemasining hamjoyliligini tekshirish uchun uning kengaytirilgan B matrisasining satrlari ustida elementar almashtirishlar bajarish yordamida B* pog’onasimon matrisaga keltirish kerak. Kengaytirilgan matrisasi B* bo’lgan (1*) tenglamalar sistemasi daslabki (1) tenglamalar sistemasiga teng kuchli. (1*) tenglamalar sistemasi hamjoysiz bo’lishi uchun uning asosiy A* matrisasining satr rangi kengaytirilgan B* matrisaning satr rangidan kichik bo’lishi, ya’ni B* pog’onasimon matrisaning oxirgi satrida oxirgi elementdan tashqari barcha elementlar nolga teng bo’lishi zarur va yetarli. 1. Berilgan tenglamalar sistemasining fundamental yechimlar sistemasini toping. Bu tenglamalar sistemasining yechimlar to’plami dan iborat.