Mavzu: bir jinsli sistemalar. Yechimlarning fundamental sistemalari

MAVZU:BIR JINSLI SISTEMALAR. YECHIMLARNING FUNDAMENTAL SISTEMALARI.

TAYYORLADI : Murtozayev Fuzail

Reja 1. Bir Chiziqli Tenglamalar Sistemasining fundamental yechimlari sistemasi. 2. Bir Chiziqli Tenglamalar Sistemasining fundamental yechimlari sistemasini topish. 3. Chiziqli Tenglamalar Sistemasini yechishning Gauss usuli.

F maydon ustida bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin: Avvalgi ma’ruzada ta’kidlanganidek, (1) tenglamalar sistemasining yechimlari to’plami Fn arifmetik vektor fazoning biror W qism fazosini tashkil etadi. TA’RIF. Fn arifmetik vektor fazoning W qism fazosining bazisini tashkil etuvchi ixtiyoriy vektorlar sistemasi (1) tenglamalar sistemasining fundamental (asosiy) yechimlari sistemasi deyiladi.

Yagona nol yechimga ega bo’lgan bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi fundamental yechimlar sistemasiga ega bo’lmaydi. TEOREMA. Bir jinsli tenglamalar sistemasining ixtiyoriy ikkita fundamental yechimlar sistemasi bir xil sondagi yechimlardan iborat bo’ladi. ISBOTI. Haqiqatan, bir jinsli tenglamalar (1) sistemasining ixtiyoriy ikkita fundamental yechimlar sistemasi ekvivalent va chiziqli erkli. Shuning uchun ularning ranglari teng. Demak, bir fundamental yechimlar sistemasiga kiruvchi vektorlar soni ixtiyoriy boshqa fundamental vektorlar sistemasiga kiruvchi vektorlar soniga teng bo’ladi⊡. Agar (1) ning asosiy Α matrisasi nol matrisa bo’lsa, u holda Fn ga tegishli ixtiyoriy vektor (1) ning yechimi bo’ladi; bu holda Fn ga tegishli ixtiyoriy chiziqli erkli vektorlar sistemasi fundamental yechimlar sistemasini tashkil etadi. Agar Α matrisaning ustun rangi n ga teng bo’lsa, u holda (1) sistema yagona – nol yechimga ega bo’ladi, demak, bu holda (1) tenglamalar sistemasi fundamental yechimlar sistemasiga ega bo’lmaydi.

TEOREMA. Agar (1) bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining asosiy matrisasining rangi r tenglamalar sistemasidagi noma’lumlar soni n dan kichik bo’lsa, u holda bu bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi n-r ta yechimdan iborat bo’lgan fundamental yechimlar sistemasidan iborat bo’ladi. ISBOTI. Agar (1) bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining asosiy Α matrisasining rangi nolga yoki n ga teng bo’lsa, teorema o’rinli ekani yuqorida ko’rsatildi. Shuning uchun 0 deb faraz qilamiz. r=r(Α) va Α matrisaning birinchi r ta ustuni chiziqli erkli bo’lsin. Bu holda Α matrisa keltirilgan pog’onasimon matrisaga satr jihatdan ekvivalent bo’lib, (1) sistema quyida keltirilgan pog’onasimon tenglamalar sistemasiga teng kuchli: