Mavzu: bir jinsli sistemalar. Yechimlarning fundamental sistemalari

U holda { d+ λ1 C1 + ... + λn-r Cn-r| λ1, λ2, …,λn-r∈ F} to’plam (1) sistemaning barcha yechimlari to’plami bo’ladi.

Chiziqli tenglamalar sistemasini noma’lumlarni ketma-ket yo’qotish usuli bilan yechish.

Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin (ℱ maydon ustida):bo’lsin.

A matrisa (1) sistemaning asosiy matrisasi, B matrisa (1) sistemaning kengaytirilgan matrisasi deyiladi.

Agar kengaytirilgan matrisa nol satrlari bo’lmagan pog’onasimon matrisa bo’lsa, chiziqli tenglamalar sistemasi pog’onasimon tenglamalar sistemasi deyiladi. Agar kengaytirilgan matrisa keltirilgan pog’onasimon matrisa bo’lsa, chiziqli tenglamalar sistemasi keltirilgan pog’onasimon tenglamalar sistemasi deyiladi.

Agar B– nol matrisa bo’lsa, u holda Fn ga tegishli ixtiyoriy n – o’lchovli vektor (1) ning yechimi bo’ladi. Agar A matrisa – nol matrisa, B esa nolmas matrisa bo’lsa, (1) tenglamalar sistemasi hamjoysiz bo’ladi.

Faraz qilaylik, A matrisa – nol matrisa bo’lmasin. U holda (1) tenglamalar sistemasini elementar almashtirishlar yordamida pog’onasimon sistemaga, so’ngra keltirilgan pog’onasimon sistemaga keltirish mumkin, binobarin, bu sistemalar dastlabki (1) sistemaga teng kuchli bo’ladi. Faraz qilaylik, A1, A2, …, Ar – A matrisa ustun vektorlar sistemasining bazisi bo’lsin. Elementar almashtirishlar yordamida (1) tenglamalar sistemasini nol satrlari bo’lmagan pog’onasimon ko’rinishga keltiramiz. Agar oxirgi olingan pog’onasimon sistema

0∙ x1 + … + 0∙ xn = β , bu yerda β≠0

ko’rinishga ega bo’lsa, u holda hosil bo’lgan pog’onasimon tenglamalar sistemasi hamjoysiz va, demak, unga teng kuchli bo’lgan dastlabki (1) tenglamalar sistemasi ham hamjoysiz bo’ladi. 

Agar oxirgi olingan pog’onasimon sistemaning chap qismida noldan farqli koeffitsientlar mavjud bo’lsa, u holda hosil bo’lgan pog’onasimon sistema quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

Agar oxirgi olingan pog’onasimon sistemaning chap qismida noldan farqli koeffitsientlar mavjud bo’lsa, u holda hosil bo’lgan pog’onasimon sistema quyidagi ko’rinishda bo’ladi: