Mavzu: Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi Reja

^{ }1 ^{ }2 ^−1^

ifodalaydi. Masalan, A₁ =_{ } ₂ , A₂ =_{  3} , A₃ =_{ 2 } vektorlar sistemasini qaraymiz.
x A1 1 +x A2 2 +x A3 3 =
vektordan quyidagi algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
x₁ + 2x₂ −x₃ = 0,

_2x₁ +3x₂ + 2x₃ = 0.
Bu sistemaning yechimlarini Gauss usulida topamiz.

x1 + 2x x2 − 3 = 0,   −x2 + 4x3 = 0.



1 3  x2 = 4x3, ^x R.

x =−7x ,
 ₃
Koʻrinib turibdiki, tenglamalar sistemasi cheksiz koʻp yechimga ega. x₃ =1, deb olsak, x₁ =−7, x₂ = 4 qiymatlarni topamiz. Ya’ni,
− +7A₁ 4A₂ + =A₃ .
Demak, ta’rifga asosan, qaralayotgan vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq. Yuqorida aytib oʻtilgan bir jinsli tenglamalar sistemasining xossalari va Kroneker-Kapelli teoremasiga asosan quyidagi tasdiqni hosil qilamiz.
Tasdiq. Agar A A₁, ₂,...,A_k vektorlar sistemasining rangi r A( ₁,...,A_k ) vektorlar soni k dan kichik boʻlsa, u holda bu vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq boʻladi. Agar r k= boʻlsa, u holda A A₁, ₂,...,A_k vektorlar sistemasi chiziqli erkli boʻladi.
Xususan, bu tasdiqdan, bir xil oʻlchovli vektorlar sistemasidagi vektorlar soni bu vektorlarning oʻlchovidan, ya’ni rangidan katta boʻlsa, u holda bu vektorlar sistemasi chiziqli boʻgliq boʻlishi kelib chiqadi.
Haqiqatan ham A A₁, ₂,...,A_k vektorlar sistemasining rangi, ta’rifga asosan,
a11 a12 a 
A=a21 a22 a 
 
 
an1 an2 ank 
matritsa rangiga teng. Shartga asosan k n , r A( )  min( , )n k = n  k . U holda AX = tenglamada noma’lumlar soni tenglamalar sistemasi rangidan katta. Demak, sistema trivial boʻlmagan (noldan farqli) yechimga ega, ya’ni, vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq.

Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari sistemasi.
2-ta’rif. Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi yechimlarining har qanday maksimal sondagi chiziqli erkli sistemasi bu tenglamalar sistemasining fundamental yechimlar sistemasi deb ataladi.
2-teorema. AX = tenglamalar sistemasining har qanday yechimi fundamental yechimlar sistemasining chiziqli kombinatsiyasidan iborat.
Isbot. X X₁, ₂,...,X_k vektorlar sistemasi AX = tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari sistemasi boʻlsin. X₀ vektor esa tenglamalar sistemasining boshqa ixtiyoriy yechimi boʻlsin. U holda, ta’rifga asosan, X₀, X₁, X₂,..., X_k vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq. Ya’ni shunday kamida bittasi noldan farqli  ₀, ₁,..., _k sonlar mavjudki,
 _{0 0}X + _{1 1}X + +... _k X_k =.
Agar bu tenglikda ₀ = 0 boʻlsa, _{1 1}X + +... _kX_k = 0, ya’ni, X₁,X₂,...,X_k vektorlar chiziqli bog‘liq. Bu esa teorema shartiga zid. Demak, ₀  0. Shu sababli