Mavzu: Bir jinsli bo’lmagan issiqlik tarqalish tengalmasi uchun Koshi masalasi

Parabolik tipdagi tenglamalar uchun boshlang’ich va chegaraviy shartlar.
Qisqacha bir jinsli ingichka sterjenda issiqlik tarqalish masalasini ko‘rib chiqamiz, uning yon sirti issiqlik o‘tkazmaydi, x=0 va x=l chegaralarida esa nollik temperatura. Shu masala uchun Furye yoki o‘zgaruvchilarni ajratish usulini bayon qilamiz. Bu masala quyidagi tenglamaga keladi:
. (1)
Boshlang‘ich shartlar:
(2)
Chegaraviy shartlar:
. (3)
Dastlab, (1) tenglamaning xususiy yechimlarini quyidagi korinishda qidiramiz:
(4)
bu funksiyalr aynan nolga teng emas va (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin.
(4) funksiyani (1) tenglama qo‘yib quyidagi oddiy differensial tenglamalarga kelamiz:
, (5)
, (6)
bu yerda .
Chegaraviy shartlar quyidagicha bo‘ladi:
(7)
Natijada biz Shturm-Liuvill (6)-(7) masalasiga kelamiz.
Bu masalaning xos sonlari:

Va bu xos sonlarga quyidagi xos funksiyalar mos keladi:
.
bo‘lganda (5) tenglama quyidagi umumiy yechimga ega:
,
shuning uchun

funksiya har qanday uchun (1) masalani va (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
(2)-(3) shartlarni qanoatlantiruvchi (1) masalaning yechimini qator ko‘rinishida qidiramiz:
(8)
Agar bu qator tekis yaqunlashuvchii bo‘lib, uni t had bo‘yicha bir marta x bo‘yicha ikki marta differensiallash mumkin bo‘lsa, u vaqtda qator yig‘indisi (1) tenglamani va (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
doimiy koeffisiyentlarni shunday aniqlaymizki (8) qator yig‘indisi (2) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirsin, quyidagi tengliklarga kelamiz:
(9)
(9) formula funksiyaning (0,l) intervalda sinuslar bo‘yicha Furye yoyilmasini beradi. Bu yoyilmaning koeffisiyentlari quyidagi formula bilan topiladi:

Masala: Quyidagi masalani Furye usulida yeching.
u_t=u_xx+u, 0_x=0=0, u|_x=l=0, u|_t=0=13x. (10)
Dastlab, (1) tenglamaning xususiy yechimlarini quyidagi korinishda qidiramiz:
, (4)
bu funksiyalr aynan nolga teng emas va chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin.
(4) funksiyani (10) masaladagi tenglamaga qo‘yib quyidagi oddiy differensial tenglamalarga kelamiz:
, (5)
, (6´)
bu yerda .
Chegaraviy shartlar quyidagicha bo‘ladi:
. (7)
Natijada biz Shturm-Liuvill (6´)-(7) masalasiga kelamiz.
Bu masalaning xos sonlari:

Va bu xos sonlarga quyidagi xos funksiyalar mos keladi:
.
bo‘lganda (5) tenglama quyidagi umumiy yechimga ega:
,
shuning uchun

funksiya har qanday uchun berilgan masalani qanoatlantiradi.
Berilgan masalaning yechimini qator ko‘rinishida qidiramiz:
.
doimiy koeffisiyentlarni shunday aniqlaymizki qator yig‘indisi boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirsin, quyidagi tenglikga kelamiz:
,
bu tenglik funksiyaning (0,l) intervalda sinuslar bo‘yicha Furye yoyilmasini beradi. Bu yoyilmaning koeffisiyentlari quyidagi formula bilan topiladi:

koeffisiyentlarni aniqlash uchun integralni bo‘laklab integrallaymiz, natijada: . U vaqtda izlanayotgan yechim quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

Endi issiqlik tarqalishining bir jinsli bo’lmagan tenglamasiga qo’yilgan bir jinsli bo’lmagan boshlang’ich va 1-tur chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimni topish masalasini, ya’ni

(1)
issiqlik tarqalish tenglamasining
(2)
boshlang’ich shartni hamda
(3)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi va sohada aniqlangan ikkinchi tartibgacha uzluksiz aynan nolga teng bo’lmagan yechimini topish masalasini qaraymiz. Bunda va lar berilgan funksiyalar bo’lib, o’z argumentlarining uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalaridir.
Ushbu masalani yordamchi kiritish bilan avval o’rganilgan soddaroq chegaraviy masalalarni yechishga keltirish mumkin. Haqiqatan ham (1) tenglamaning yechimini
(4)
ko’rinishda izlasak va undan kerakli xususiy hosilalarni olib (1), (2) va (3) ga qo’ysak va unda yordamchi funksiyani

shartlarni qanoatlantirsin deb, masalan
(5)
kabi tanlasak (bunday funksiyalar yagona emas), funksiya uchun (1)-(3) masalaga o’xshash bo’lgan



masalani yechish masalasiga kelamiz. Bunda
,
aniq ko’rinishga ega bo’lgan berilgan uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalardir. Bu masalani (1)-(3) masalani yechish usulidagi kabi yechib, uni va (5) ni (4) ga qo’yib, (1) issiqlik tarqalish tenglamasining (2) va (3) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini olamiz.
Bir jinsli bo’lmagan issiqlik tarqalish tenglamasi
Ushbu paragrafda bir jinsli bo’lmagan issiqlik tarqalish tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masalani qaraymiz.
Chekli sohada
(1)
Issiqlik tarqalish tenglamasi
, (2)
Boshlang’ich va
(3)
Chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi u(x,t) yechimni topamiz.
Bu yerda -berilgan uzliksiz funksiyalar.
Bu masalaning yechimining yagaonaligai ekstremum prinspi yordamida isbotlangan .
Endi biz yuqorida qollagan usulni issiqlik tarqakishning bir jinsli bo’lmagan, ya’ni sterjenda issiqlik manbalari ta’siri kuzatilgan hilga tadbiq etamiz. Bu holda biz
(4)
issiqlik tarqalish tenglamasining
(5)
bir jinsli boshlang’ich shartni hamda
(6)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi va sohada aniqlangan ikkinchi tartibgacha uzluksiz aynan nolga teng bo’lmagan yechimini topishdan iboratdir.
Ushbu masala yechimini oldingi masaladagi Shturm-Liuvill masalasi

xos funksiyalari bo’yicha Fur’e qatori ko’rinishida izlaymiz, ya’ni
. (7)
Xuddi shu kabi (4) tenglama o’ng tomonidagi funksiyani ham  ni hozircha parametr sifatida qarab, Fur’e qatoriga yoyamiz:
. (8)
Bunda
.
Yechimning izlangan (7) ifodasini va funksiyaning (8) ifodasini (4) tenglamaga qo’yib
.
Ikki teng funksiyalar Fur’e koeffisientlari teng bo’lganligi uchun oxirgi tenglamadan
(9)
oddiy differensial tenglamaga kelamiz. Endi (5) boshlang’ich shartlarni qaraymiz.
.
Demak (5) boshlang’ch shart uchun qo’yilgan
(10)
shartga o’tar ekan. (9) birinchi tartibli oddiu chiziqli differensial tenglamaning (18) shartni qanoatlantiruvchi yechimi bizga oddiy differensial tenglamalar kursidan ma’lum bo’lgan formulada yechiladi:
.
ning bu ifodasini (7) ga qo’yib, qo’yilgan (4)-(6) masalaning yechimiga ega bo’lamiz:
.
Ushbu yechimni ning ifodasini o’rniga qo’yish va qator tekis yaqinlashuvchanligiga asosan uni hadlab integrallash mumkin ligidan foydalanib

ko’rinishda yozish mumkin. Bunda
.
Odatda ushbu funksiyani nuqtaviy issiqlik manba funksiyasi deb aytiladi.